Lição 5

Definições das coisas que pertencem ao tocar, ao ser consecutivo e ao contínuo

Depois disto, digamos o que é estar junto, e o que é estar separado, e o que é tocar, e o que é o intermédio, e o que é o consecutivo, e o que é o contíguo, e o que é o contínuo, e em que coisa cada um destes é naturalmente apto a existir.

Diz-se, pois, que estão juntas segundo o lugar todas as coisas que estão primeiramente num só lugar; separadas, todas as que estão em outro; e que se tocam aquelas cujos extremos estão juntos.

Intermédio, por sua vez, é aquilo a que está apto por natureza a chegar primeiro o que muda, antes que àquilo para que muda por último, sofrendo continuamente a mudança segundo a natureza. E o intermédio está, no mínimo, em três: pois o extremo da mudança é o contrário. Move-se continuamente, porém, o que em nada ou em pouquíssimo falha quanto à coisa, não quanto ao tempo.

Pois nada impede a falha da coisa, não do tempo; e também, logo após a hípate, soar a última; mas da coisa em que se move.¹

Isto, porém, é manifesto tanto nas que são segundo o lugar como nas outras mudanças.

Contrário segundo o lugar, porém, é o que dista ao máximo segundo a retidão. Pois a mínima é finita; e a medida é finita.

Consecutivo, porém, é aquilo que, estando depois do princípio somente, ou pela posição, ou pela espécie, ou por alguma outra coisa assim determinada, não tem nenhum intermédio, das coisas que estão no mesmo gênero, entre ele e aquilo de que é consecutivo:

digo, por exemplo, uma linha de uma linha, enquanto são linhas, ou uma unidade de uma unidade, enquanto são unidades, ou uma casa de uma casa: nada impede, porém, que outra coisa seja intermédia.

Pois o consecutivo é consecutivo de algo, e é algo posterior. Pois o um não é consecutivo do dois, nem a lua nova do segundo dia; mas estes daqueles. Contíguo, porém, é o que, sendo consecutivo, toca.²

Uma vez, porém, que toda mudança é entre opostos, e opostos são tanto os contrários como os que são segundo a contradição, e da contradição nada é intermédio, é manifesto que o intermédio estará nos contrários.

Contínuo, porém, é por certo algo contíguo. Digo, porém, que é contínuo quando se torna o mesmo e um só o termo de ambos os que se tocam e, como significa o nome, se contém; isso, porém, não pode ser quando há dois extremos. Determinado isto, é manifesto que o contínuo está naquelas coisas das quais algo uno está apto a fazer-se segundo o contato. E, assim como às vezes se faz um só contínuo, assim também o todo será um; como por pregagem, ou por cola, ou por contato, ou por crescimento conjunto.

É manifesto, porém, também que o primeiro é o consecutivo. Pois o que está em contato é necessário que seja consecutivo; mas nem todo consecutivo toca. Por isso, nas coisas primeiras pela razão há o consecutivo, como nos números; mas não há contato.

E, se é contínuo, é necessário também que toque; mas, se toca, ainda não é contínuo. Pois não é necessário que os extremos deles sejam um, se estão juntos; mas, se são um, é necessário também que estejam juntos.

Por isso, a inserção é a última segundo a geração: pois é necessário que toquem, se os extremos forem adnatos; mas nem todas as coisas em contato são adnatas. Naquelas, porém, em que não há contato, é manifesto que não há nelas junção.

Por isso, se há a unidade e o ponto tais como os dizem separados, não é possível que a unidade e o ponto sejam o mesmo. Pois a estes cabe tocar; às unidades, porém, ser consecutivas.

E entre estes pode haver intermédio; pois toda linha é intermédia entre pontos; entre aquelas, porém, não é necessário; pois não há nenhum intermédio entre a dualidade e a unidade.

O que é, pois, estar junto e separado, e o que é tocar, e o que é o intermédio, e o que é o consecutivo, e o que é o contíguo, e o que é o contínuo, e em que coisa cada um deles existe, está dito.

684. Depois que o Filósofo dividiu a mudança e o movimento em suas espécies, aqui procede a determinar a unidade e a contrariedade do movimento em suas espécies.

E acerca disto faz duas coisas:

primeiro, antepõe algumas coisas necessárias para o que se segue;

segundo, desenvolve o propósito principal, onde diz: uno, porém, se diz o movimento etc.

Acerca do primeiro, faz três coisas:

primeiro, diz de que trata a intenção;

segundo, executa o propósito, onde diz: diz-se, pois, que estão juntas etc.,

terceiro, recapitula, onde diz: o que é, pois etc.

Diz, pois, primeiro que, depois do que foi dito, deve-se dizer o que é estar junto, e o que é estar à parte ou separado, e o que é tocar, e o que é o intermédio, e o que é o consecutivo, e o que é o contíguo, e o que é o contínuo, e em que coisas estes são naturalmente aptos a existir. Antepõe isto porque usa as definições destas coisas nas demonstrações que se seguem por todo o livro; assim como também no princípio de Euclides se põem as definições, que são os princípios das demonstrações seguintes.

685. Em seguida, quando diz: diz-se, pois, que estão juntas etc., executa o propósito.

Primeiro, define as coisas que foram antepostas;

segundo, compara-as entre si, onde diz: é manifesto, porém, também que o primeiro etc.

Acerca do primeiro, faz três coisas:

primeiro, define as coisas que pertencem ao tocar;

segundo, as que pertencem ao ser consecutivo, onde diz: intermédio, por sua vez etc.;

terceiro, as que pertencem ao contínuo, onde diz: contínuo, porém etc.

E, porque na definição do tocar se põe o estar junto, por isso primeiro define este: e diz que se diz que estão juntas segundo o lugar as coisas que estão primeiramente num só lugar; e diz-se lugar primeiro de cada coisa o que é o seu lugar próprio. Pois diz-se que algumas coisas estão juntas pelo fato de estarem num só lugar próprio, não pelo fato de estarem num só lugar comum; porque, segundo isto, poder-se-ia dizer que todos os corpos estão juntos, porque todos estão contidos sob o céu.

Diz, porém, que se diz que estas coisas estão juntas segundo o lugar, à diferença das que se diz serem simultâneas no tempo: pois isso não vem agora ao propósito. Pelo oposto, diz-se que estão separadas ou à parte todas as que estão num e noutro lugar.

Diz-se, porém, que se tocam aquelas cujos extremos estão juntos. Os extremos dos corpos são as superfícies, e os extremos das superfícies são as linhas, e os extremos das linhas são os pontos. Se, pois, se supõe que duas linhas se tocam em seus extremos, os dois pontos das duas linhas que se tocam estarão contidos sob um só ponto do lugar continente. Nem por isso se segue que o localizado seja maior que o lugar: porque um ponto acrescentado a um ponto nada torna maior. E pela mesma razão se passa nos demais casos.

686. Em seguida, quando diz: intermédio, por sua vez, é aquilo a que está apto etc., define as coisas que pertencem ao ser consecutivo.

E acerca disto faz três coisas:

primeiro, define o intermédio, que se põe na definição do consecutivo;

segundo, define o consecutivo, onde diz: consecutivo, porém, é etc.;

terceiro, infere um corolário do que foi dito, onde diz: uma vez, porém, que toda mudança etc.

Diz, pois, primeiro que o intermédio é aquilo a que o que muda continuamente segundo a natureza está naturalmente apto a chegar primeiro do que ao termo extremo do movimento, para o qual muda: assim como, se algo muda de a para c através de b, contanto que o movimento seja contínuo, chega primeiro a b do que a c.

O intermédio pode, por certo, estar em mais coisas, porque entre dois extremos pode haver muitos intermédios, como entre o branco e o preto há muitas cores intermédias; mas, no mínimo, é preciso que esteja em três, dos quais dois são extremos e um intermédio. Assim, pois, o intermédio é aquilo pelo qual, na mudança, se chega ao extremo; mas o extremo da mudança é o contrário. Pois foi dito acima que o movimento é de contrário para contrário.

687. E, porque na definição do intermédio pusera a continuação do movimento, mostra em seguida o que se diz mover-se continuamente.

A continuação do movimento pode considerar-se a partir de duas coisas:

do tempo em que se move,

e da coisa pela qual passa, como é a grandeza no movimento local.

Para que o movimento seja contínuo, pois, requer-se que não haja nenhuma interrupção no tempo: porque, por menor que fosse a interrupção do movimento segundo o tempo, não seria contínuo.

Mas da parte da grandeza pela qual passa o movimento pode haver alguma pequena interrupção sem prejuízo da continuação do movimento; como se vê nas passagens dos caminhos, em que se põem pedras pouco distantes umas das outras, pelas quais o homem passa de uma parte do caminho para outra com movimento contínuo. É isto, pois, o que diz: que se move continuamente aquilo que em nada ou em pouquíssimo falha quanto à coisa, isto é, que não tem interrupção da parte da coisa pela qual passa; ou, se falha, falha em pouquíssimo. Mas quanto ao tempo não pode falhar nem em pouquíssimo, se o movimento é contínuo.

Como, porém, a coisa pode falhar no movimento contínuo, ele o manifesta, acrescentando que nada impede que algo se mova continuamente com falha da coisa, mas não do tempo; como se alguém que toca cítara, logo após a hípate, isto é, a primeira corda grave, fizesse soar a última, aguda, omitidas algumas cordas no meio. Mas esta falha é da coisa em que está o movimento, não do tempo. E o que foi dito sobre a continuidade do movimento deve entender-se tanto no movimento local como nos outros movimentos.

688. Mas, porque não é manifesto como o extremo no movimento local é contrário, já que um lugar não parece ser contrário a outro lugar, por isso manifesta isto. E diz que o contrário segundo o lugar é o que dista ao máximo segundo a linha reta. E deve-se entender que a distância máxima é segundo a comparação ao movimento, aos móveis e aos motores: assim como, por comparação ao movimento dos pesados e dos leves, distam ao máximo segundo o lugar o centro e a extremidade do céu, quanto a nós; e, segundo o meu movimento ou o teu, dista ao máximo aquilo aonde pretendemos ir daquilo de onde começamos a mover-nos.

O que, porém, quer dizer com o que disse, segundo a retidão, expõe-no acrescentando: pois a mínima é finita etc. Para entendê-lo, deve-se considerar que a mínima distância que há entre quaisquer dois pontos assinalados é a linha reta, que sucede ser uma só entre dois pontos. Mas as linhas curvas podem multiplicar-se ao infinito entre dois pontos, segundo se tomam duas linhas curvas como arcos de círculos maiores ou menores. E, como toda medida deve ser finita (do contrário não poderia certificar a quantidade, o que é próprio da medida), por isso a distância máxima que há entre dois não pode medir-se segundo a linha curva, mas somente segundo a linha reta, que é finita e determinada.

689. Em seguida, quando diz: consecutivo, porém, é etc., define o consecutivo e certa espécie dele, a saber, o contíguo.

E diz que, para que algo se diga consecutivo a outro, requerem-se duas coisas.

Uma delas é que esteja depois de algum princípio, com certa ordem: ou segundo a posição, como nas coisas que têm ordem no lugar; ou segundo a espécie, como a dualidade está depois da unidade; ou de qualquer outro modo pelo qual algumas coisas se ordenem determinadamente, como segundo a potência, segundo a dignidade, segundo o conhecimento, e semelhantes.

A outra que se requer é que entre o que é consecutivo e aquilo a que é consecutivo não haja nenhum intermédio do número das coisas que estão no mesmo gênero: assim como uma linha é consecutiva a uma linha, se nenhuma linha estiver no meio; e semelhantemente quanto a uma unidade em relação a uma unidade, e a uma casa em relação a uma casa. Mas nada impede, para que algo seja consecutivo a outro, que haja entre eles algum intermédio de outro gênero; como se algum animal estiver entre duas casas.

Por que, porém, disse e aquilo de que é consecutivo e estando depois do princípio, manifesta-o acrescentando que tudo o que se diz consecutivo é consecutivo em relação a algo, e não como anterior, mas como posterior. Pois não se diz que o um é consecutivo do dois, nem a lua nova do segundo dia, mas o contrário.

Em seguida, define certa espécie do consecutivo, que se diz contíguo. E diz que nem todo consecutivo é contíguo, mas só quando é consecutivo de tal modo que toca; de modo que não haja nenhum intermédio, não só do mesmo gênero, mas nem de outro.

690. Em seguida, quando diz: uma vez, porém, que toda mudança etc., conclui das premissas que, sendo o intermédio aquilo pelo qual algo muda para o extremo, e sendo toda mudança entre opostos, que ou são contrários ou contraditórios, e não havendo intermédio nenhum nos contraditórios, resta que todo intermédio é, de algum modo, entre contrários.

Em seguida, quando diz: contínuo, porém, é por certo etc., manifesta o que é o contínuo: e diz que o contínuo é certa espécie de contíguo. Pois, quando um e o mesmo termo se torna termo de duas coisas que se tocam, diz-se que é contínuo.

E isto significa também o nome. Pois contínuo diz-se de conter: quando, pois, muitas partes se contêm num só e como que se mantêm juntas, então há contínuo. Mas isso não pode ser quando há dois extremos, mas só quando há um.

Disto, porém, conclui ulteriormente que a continuação não pode existir senão naquelas coisas das quais é natural que se faça um só segundo o contato. Pois pela mesma razão algum todo é por si uno e contínuo pela qual de muitos se faz um só contínuo, ou por alguma pregagem, ou por alguma colagem, ou por qualquer modo de contato, de tal modo que se faça um só termo de ambos; ou também pelo fato de algo nascer naturalmente junto de outro, como o fruto nasce aderido à árvore e de certo modo se continua com ela.

692. Em seguida, quando diz: é manifesto, porém, também que o primeiro etc., compara entre si três das coisas antepostas, das quais trata principalmente, a saber, o que é consecutivo, o que está em contato e o contínuo.

E acerca disto faz três coisas:

primeiro, compara o consecutivo com o que está em contato;

segundo, o que está em contato com o contínuo, onde diz: e, se é contínuo etc.;

terceiro, infere um corolário do que foi dito, onde diz: por isso, se há a unidade etc.

Diz, pois, primeiro ser manifesto que o consecutivo é o primeiro entre as três coisas antepostas na ordem da natureza, segundo o que se diz anterior aquilo a partir do qual não se converte a consequência de ser; porque é necessário que tudo o que está em contato seja consecutivo: pois é preciso que entre as coisas que se tocam haja alguma ordem, ao menos de posição. Mas não é preciso que tudo o que é consecutivo seja tangente: porque pode haver ordem em coisas em que não há contato, como nas separadas da matéria. Por isso, o consecutivo encontra-se nas coisas que são anteriores segundo a razão: pois encontra-se nos números, nos quais não se encontra o contato, que se encontra só nos contínuos. E os números são, segundo a razão, anteriores às quantidades contínuas, como mais simples e mais abstratos.

693. Em seguida, quando diz: e, se é contínuo etc., compara o que está em contato com o contínuo. E diz que, pela mesma razão, o que está em contato é anterior ao contínuo: porque, se algo é contínuo, é necessário que seja tangente; mas, se toca, não é necessário que seja contínuo.

E prova isto pela razão de cada um. Pois não é necessário que os extremos de algumas coisas sejam um, o que é da razão do contínuo, se estão juntos, o que é da razão do que está em contato; mas é necessário, inversamente, se os extremos são um, que estejam juntos, pela razão pela qual se pode dizer que um está junto consigo mesmo.

Se, porém, isto que digo “juntos” implica relação de coisas distintas, não podem ser um as coisas que estão juntas; e, segundo isto, nem podem estar em contato as que são contínuas, a não ser tomando-o em sentido comum. Por isso conclui que a inserção, isto é, a continuação segundo a qual uma parte se insere na outra num só termo, é a última na ordem da geração, enquanto as coisas especiais são posteriores às comuns, como antes se gera o animal do que o homem. E por isso digo que a inserção é a última, porque é necessário que algumas coisas se toquem mutuamente, se os seus extremos são adnatos, isto é, naturalmente unidos; mas não é necessário que todas as coisas que se tocam sejam naturalmente adnatas umas às outras. Mas naquelas em que não pode haver contato, é manifesto que nelas não pode haver junção, isto é, continuação.

694. Em seguida, quando diz: por isso, se há a unidade etc., conclui um corolário do que foi dito; a saber, que, se a unidade e o ponto são separados, como dizem alguns, que põem os entes matemáticos separados segundo o ser, segue-se que a unidade e o ponto não são o mesmo.

E isto se torna manifesto por duas razões.

Primeiro, porque os pontos estão nas coisas que são naturalmente aptas a tocar-se, e segundo os pontos algumas coisas se tocam mutuamente; mas nas unidades não se encontra contato, mas só o ser consecutivo.

Segundo, porque entre dois pontos pode haver algum intermédio; pois toda linha é intermédia entre dois pontos; mas entre duas unidades não é necessário que haja algum intermédio. Pois é patente que entre as duas unidades que constituem a dualidade e a própria primeira unidade nada é intermédio.

Por último, onde diz: o que é, pois, estar junto etc., recapitula o que foi dito; e é claro na letra.

Footnotes

1. Nota do tradutor: A hípate (gr. hypátē) era, na lira grega, a corda de som mais grave; a “última” (nḗtē) era a de som mais agudo. Tocar uma logo após a outra é passar de um extremo ao outro saltando as cordas intermédias. ↩

2. Nota do tradutor: Os gregos chamavam “lua nova” (noumēnía) ao primeiro dia do mês lunar, e “segunda” (deutéra) ao dia seguinte; o latim traz apenas secunda. O dia da lua nova vem antes, e por isso é o segundo que se diz consecutivo a ele, e não o contrário. ↩