Lição 10

Mostra-se como o infinito existe, a saber, não como ente em ato, mas como ente em potência — comparam-se entre si os diversos infinitos

Que, pois, um corpo não seja infinito em ato, é manifesto pelo que foi dito. Mas também é manifesto que, se o infinito não existir absolutamente, acontecem muitas coisas impossíveis. Pois haverá certo princípio e fim do tempo; e as grandezas não serão divisíveis em grandezas; e o número não será infinito.

Como, porém, determinadas assim as coisas, nenhum dos dois modos parece possível, é evidentemente por isso manifesto que de certo modo existe e de certo modo não.

Diz-se, pois, que uma coisa é em potência, e outra em ato. E o infinito existe por adição, e existe também por subtração.

Da grandeza, porém, já se disse que não é infinita em ato; mas o é por divisão. Pois não é difícil destruir as linhas indivisíveis. Resta, pois, que o infinito existe em potência.

Não se deve, porém, tomar o ente em potência do modo como, se é possível que este bronze seja estátua, ele também será esta estátua; assim também o infinito, como algo que virá a ser em ato.

Mas, como o ser se diz de muitos modos, assim como o dia e o certame existem por sempre se fazer uma coisa e depois outra, assim também existe o infinito.

Com efeito, também nestes há potência e ato. Pois os Jogos Olímpicos existem tanto no poder fazer-se o certame como no fazer-se.

De outro modo, porém, também no tempo se manifesta o infinito, e nos homens, e na divisão das grandezas.

Pois, de modo geral, assim existe o infinito: por tomar-se sempre outro e outro; e o que se toma é sempre finito, mas sempre outro e outro.

Por isso não se deve tomar o infinito como este algo, como um homem ou uma casa; mas como se diz o dia e o certame, cujo ser não se fez como o de certa substância. Mas está sempre em geração ou corrupção, finito, porém sempre outro e outro.

Mas nas grandezas isto acontece permanecendo o que se tomou; nos homens e no tempo, porém, corrompendo-se, de modo que não chegam a faltar.

O que é por adição, porém, é de certo modo o mesmo que o que é por divisão. Pois o infinito por adição faz-se em sentido contrário: assim como algo se vê dividido ao infinito, assim o adicionado se verá tender ao determinado.

Pois, se alguém, numa grandeza finita, tomando algo determinado, tomar mais segundo a mesma razão, não tomando uma mesma grandeza, não percorrerá o finito.

Se, porém, aumentar a razão de modo que se tome sempre uma mesma grandeza, percorrerá o finito, porque todo finito se esgota por qualquer finito.

De outro modo, pois, não existe; mas assim existe o infinito: em potência e por divisão. E existe também em ato, como dizemos que existe o dia e o certame; e em potência assim como a matéria, e não por si, como o finito.

E também por adição, pois, o infinito existe assim em potência, o qual dizemos ser de certo modo o mesmo que o que é por divisão: pois sempre é possível tomar algo dele fora.

Não excede, contudo, toda grandeza determinada, assim como na divisão excede toda grandeza determinada e será menor.

Por isso, exceder tudo por adição não é possível nem sequer em potência, visto que não há, por acidente, um infinito em ato, como os fisiólogos dizem haver fora do corpo do mundo, cuja substância é o ar ou outra coisa semelhante.

Mas, se não é possível que haja assim um corpo sensível infinito em ato, é manifesto que nem em potência haverá infinito por adição; senão, como foi dito, em sentido contrário à divisão.

Pois também Platão, por isso, fez dois infinitos: porque parece exceder e ir ao infinito tanto no aumento como para a aniquilação.

Mas, fazendo dois, não os usa. Pois nos números nem há infinito por divisão (pois a unidade é o mínimo), nem por aumento: pois faz o número até dez.

370. Depois de proceder de modo disputativo acerca do infinito, o Filósofo começa aqui a determinar a verdade.

E primeiro mostra se o infinito existe;

segundo, o que é, onde diz: acontece, porém, que o infinito é o contrário etc.

A primeira divide-se em duas:

na primeira, mostra como o infinito existe;

na segunda, compara entre si os diversos infinitos, onde diz: de outro modo, porém, também no tempo etc.

Acerca da primeira, faz três coisas:

primeiro, mostra que o infinito de certo modo existe e de certo modo não existe;

segundo, determina que existe em potência, e não como ente em ato, onde diz: diz-se, pois etc.;

terceiro, manifesta como existe em potência, onde diz: não se deve, porém, tomar o ente em potência etc.

371. Diz, pois, primeiro, que pelo que se disse é manifesto que não há nenhum corpo infinito em ato. Igualmente, pelo que antes se disse, é manifesto que, se o infinito não existe absolutamente, acontecem muitas coisas impossíveis. Uma delas é que o tempo terá princípio e fim: o que se reputa inconveniente segundo os que põem a eternidade do mundo. E, além disso, seguir-se-á que a grandeza não é sempre divisível em grandezas, mas que às vezes, pela divisão das grandezas, se chega a certas coisas que não são grandezas; mas toda grandeza é divisível. Igualmente, seguir-se-á que o número não aumenta ao infinito. Como, pois, segundo o que foi determinado, nenhum dos dois parece possível, a saber, nem que o infinito exista em ato, nem que absolutamente não exista, é necessário dizer que de certo modo existe e de certo modo não existe.

372. Em seguida, quando diz: diz-se, pois, que uma coisa é etc., mostra que o infinito existe como ente em potência. E diz que algo se diz ser em ato, e algo se diz ser em potência. O infinito, porém, diz-se ser por adição, como nos números, ou por subtração, como nas grandezas. Pois mostrou-se que a grandeza não é infinita em ato; e assim, nas grandezas, não se encontra o infinito por adição, mas nelas se encontra o infinito por divisão. Pois não é difícil destruir a opinião dos que põem que há linhas indivisíveis. Ou, segundo outra versão: não é difícil partir as linhas átomas, isto é, mostrar que as linhas que alguns põem indivisíveis são partíveis. Diz-se, porém, infinito por adição ou por divisão, na medida em que se pode adicionar ou dividir. Resta, pois, que o infinito existe como ente em potência.

373. Em seguida, quando diz: não se deve, porém, tomar o ente em potência etc., mostra como o infinito existe em potência.

Pois algo se encontra em potência de dois modos.

De um modo, de tal maneira que o todo pode ser reduzido a ato, como este bronze, que pode ser estátua e em algum momento será estátua; mas não é assim que se diz que o infinito existe em potência, como se depois todo ele viesse a estar em ato.

De outro modo, diz-se estar em potência algo que depois se faz ente em ato, não todo ao mesmo tempo, mas sucessivamente.

Pois algo se diz ser de muitos modos: ou porque existe todo ao mesmo tempo, como o homem e a casa; ou porque sempre uma parte sua se faz depois de outra, modo pelo qual se diz que existe o dia e o jogo agonístico.

E deste modo se diz que o infinito existe ao mesmo tempo em potência e em ato: pois todas as coisas desse tipo estão ao mesmo tempo em potência quanto a uma parte, e em ato quanto a outra. Pois os Jogos Olímpicos, isto é, as festas agonísticas que se celebravam no monte Olimpo,¹ dizem-se existir e durar segundo os certames poderem fazer-se e fazerem-se em ato: porque, enquanto duravam essas festas, alguma parte daqueles jogos estava em fazer-se, e alguma estava como por fazer-se no futuro.

374. Em seguida, quando diz: de outro modo, porém, também no tempo etc., compara entre si os diversos infinitos.

E primeiro compara o infinito do tempo e da geração com o infinito que há nas grandezas;

segundo, compara nas grandezas o infinito por adição e o infinito por divisão, onde diz: o que é por adição, porém etc.

Acerca do primeiro, faz três coisas.

Primeiro, propõe o que pretende: e diz que de um modo se manifesta o infinito na geração dos homens e no tempo, e de outro na divisão das grandezas.

375. Segundo, onde diz: pois, de modo geral, assim existe etc., mostra o que é comum a todos os infinitos. E diz que isto se encontra de modo geral e universalmente em todos os infinitos: que o infinito existe por tomar-se sempre outro e outro segundo certa sucessão, de tal modo, contudo, que tudo o que se toma em ato do infinito seja totalmente finito. Por isso não se deve tomar o infinito como algo existente todo ao mesmo tempo, como este algo que se aponta, assim como tomamos um homem ou uma casa; mas como existem as coisas sucessivas, como o dia e o jogo agonístico, cujo ser não é deste modo, que algo deles exista como certa substância perfeita, toda existente em ato. Na geração e na corrupção, porém, ainda que se proceda ao infinito, aquilo que se toma em ato é sempre finito. Pois em todo o decurso da geração, ainda que se proceda ao infinito, também todos os homens que se tomam juntos em ato são finitos em número, e esse finito deve tomar-se outro e outro, na medida em que uns homens sucedem a outros.

376. Terceiro, onde diz: mas nas grandezas etc., mostra a diferença. E diz que o finito que tomamos nas grandezas, seja adicionando, seja dividindo, permanece e não se corrompe; mas os finitos que se tomam no decurso infinito do tempo e da geração humana corrompem-se; de modo que, desta maneira, não acontece faltarem o tempo e a geração.

377. Em seguida, quando diz: o que é por adição, porém etc., compara os dois infinitos que há nas grandezas, a saber, por adição e por divisão.

E acerca disso faz três coisas:

primeiro, põe a conveniência entre um e outro infinito;

segundo, mostra a diferença, onde diz: não excede, contudo etc.;

terceiro, infere certa conclusão do que foi dito, onde diz: por isso, exceder etc.

Diz, pois, primeiro, que de certo modo o infinito por adição é o mesmo que o infinito por divisão, porque o infinito por adição se faz inversamente ao infinito por divisão. Pois, na medida em que algo se divide ao infinito, nessa medida parece poder adicionar-se ao infinito a alguma quantidade determinada.

378. Manifesta, pois, como existe o infinito por divisão na grandeza. E diz que, se alguém, numa grandeza finita, tomada alguma parte determinada por divisão, tomar sempre, dividindo, outras partes segundo a mesma razão, isto é, proporção, mas não segundo a mesma quantidade na mesma proporção, não percorrerá, dividindo, aquele finito;

por exemplo, se de uma linha de um côvado tomar a metade, e de novo a metade do resto; e assim pode proceder ao infinito. Conservar-se-á, com efeito, ao subtrair, a mesma proporção, mas não a mesma quantidade do subtraído; pois a metade da metade é menor em quantidade do que a metade do todo. Mas, se tomasse sempre a mesma quantidade, seria preciso que a proporção aumentasse sempre mais e mais.

Por exemplo, se de uma quantidade de dez côvados se subtrai um côvado, o subtraído está para o todo em proporção subdécupla; se, porém, de novo se subtrai do resto um côvado, o subtraído estará numa proporção maior; pois um côvado é menos excedido por nove do que por dez.

Assim, pois, como, conservando a mesma proporção, a quantidade diminui, assim, tomando a mesma quantidade, a proporção aumenta.

Se, pois, alguém, subtraindo assim de alguma grandeza finita, aumentar sempre a proporção tomando a mesma quantidade, percorrerá, dividindo, a grandeza finita; por exemplo, se de uma linha de cem côvados subtrair sempre um côvado. E isto é assim porque todo finito se consome por qualquer finito sempre tomado.

De outro modo, pois, o infinito não existe por divisão senão em potência, o qual, contudo, está em ato juntamente com a potência, como se disse do dia e do certame. E, como o infinito está sempre em potência, assemelha-se à matéria, que está sempre em potência; e não é algo existente por si, todo em ato, como o finito está em ato. E assim como o infinito por divisão está em potência juntamente com o ato, de modo semelhante se deve dizer do infinito por adição, que de certo modo é o mesmo que o infinito por divisão, como foi dito. Daí é manifesto que o infinito por adição está em potência, porque sempre é possível tomar, adicionando, alguma outra coisa.

379. Em seguida, quando diz: não excede, contudo etc., mostra a diferença entre o infinito por adição e o infinito por divisão. E diz que o infinito por adição não excede, para mais, toda grandeza finita dada; mas o infinito por divisão excede, para menos, toda pequenez determinada. Tomemos, com efeito, uma pequenez determinada, por exemplo a de um dedo: se eu dividir ao infinito uma linha de cem côvados, tomando sempre a metade, chegar-se-á a algo menor que um dedo. Mas, adicionando ao infinito, inversamente à divisão, poder-se-á dar uma quantidade finita que nunca será percorrida. Sejam dadas, com efeito, duas grandezas, cada uma de dez côvados, e uma terceira que seja de vinte. Se, pois, aquilo que subtraio ao infinito, tomando sempre a metade de uma grandeza de dez côvados, se adicionar à outra, que também é de dez côvados, nunca se chegará, adicionando ao infinito, à medida da quantidade que é de vinte côvados: porque quanto restar na grandeza da qual se subtrai, tanto faltará à medida dada na quantidade à qual se adiciona.

380. Em seguida, quando diz: por isso, exceder tudo etc., induz uma conclusão do que foi dito.

E primeiro a induz;

segundo, manifesta-a pelo dito de Platão, onde diz: pois também Platão etc.

Diz, pois, primeiro, que, uma vez que a adição ao infinito não faz transcender toda quantidade determinada, não é possível, nem sequer em potência, que toda quantidade determinada seja excedida por adição. Porque, se houvesse na natureza potência para uma adição que transcendesse toda quantidade, seguir-se-ia que haveria um infinito em ato; de modo que o infinito seria acidente de alguma natureza, assim como os filósofos naturais põem que fora do corpo deste mundo que vemos há certo infinito, cuja substância é o ar ou alguma outra coisa semelhante. Se, pois, não é possível haver corpo sensível infinito em ato, como se mostrou, segue-se que não há na natureza potência para uma adição que transcenda toda grandeza, mas só para a adição infinita inversa à divisão, como foi dito. Por que, porém, se houvesse potência para uma adição infinita que transcendesse toda grandeza, se seguiria que há corpo infinito em ato, e da adição infinita nos números, que transcende todo número, não se segue que haja número infinito em ato, mostrar-se-á adiante.

381. Em seguida, quando diz: pois também Platão, por isso etc., manifesta pelo dito de Platão o que dissera. E diz que, como o infinito na adição das grandezas existe pelo oposto da divisão, por isso Platão fez dois infinitos, a saber, o grande, que pertence à adição, e o pequeno, que pertence à divisão; porque o infinito parece exceder tanto pela adição, no aumento, como pela divisão, no decréscimo, ou tendendo ao nada. Mas, embora o próprio Platão faça dois infinitos, não os usa: porque, como punha que o número é a substância de todas as coisas, nos números não se encontra o infinito por divisão, porque neles o mínimo é a unidade; nem tampouco por adição, segundo ele, porque dizia que as espécies dos números não variam senão até dez, e depois se volta à unidade, contando onze e doze etc.

Footnotes

1. Nota do tradutor: Os Jogos Olímpicos celebravam-se não no monte Olimpo, na Tessália, mas em Olímpia, na Élida, no Peloponeso, junto ao santuário de Zeus. ↩