Lição 12

A partir da definição dada do infinito, dá-se a razão do que se diz sobre o infinito

Conforme à razão, porém, acontece também que o que é por adição não pareça ser infinito de modo a exceder toda grandeza, mas que o seja na divisão. Pois tanto a matéria como o infinito são contidos por dentro; e o que contém é a espécie.

Razoavelmente, porém, também no número há termo para o mínimo, e para o mais sempre excede toda multidão; nas grandezas, ao contrário, para o menos excede toda grandeza, mas para o maior não há grandeza infinita. A causa é que o um é indivisível, seja qual for o um, como o homem é um só homem e não muitos. O número, porém, é mais coisas do que um, e certas quantidades. Por isso é necessário parar no indivisível. Pois dois e três são nomes denominativos; e de modo semelhante cada um dos outros números.

Para o mais, porém, é sempre possível conceber: pois as bipartições da grandeza são infinitas.

Por isso, existe em potência, mas não em ato; mas o que se toma excede sempre toda multidão determinada. Mas este número não é separado do corte. E a infinidade não permanece, mas faz-se sempre, como também o tempo e o número do tempo.

Nas grandezas, porém, dá-se o contrário. Pois o contínuo divide-se em infinitas partes; mas para o maior não há infinito. Pois quanto é possível que algo seja em potência, tanto é possível que seja em ato. Por isso, como nenhuma grandeza sensível é infinita, não é possível que haja excesso sobre toda grandeza determinada: pois haveria algo maior que o céu.

O infinito, porém, não é o mesmo no movimento, na grandeza e no tempo, como uma só natureza; mas o posterior diz-se segundo o anterior. Como o movimento, porque anterior é a grandeza na qual algo se move, ou se altera, ou aumenta; e o tempo, por causa do movimento. Agora, pois, usamos estas coisas; depois tentaremos dizer o que é cada uma, e que toda grandeza é divisível em grandezas.

Não remove, porém, a razão os matemáticos da sua consideração, ao suprimir que haja algo infinito de tal modo que seja em ato impercorrível por aumento.

Pois nem precisam assim do infinito, nem o usam: mas só de que haja uma grandeza finita tão grande quanto queiram.

Ora, à grandeza máxima convém ser cortada segundo a mesma razão, por grande que seja a outra grandeza.

Por isso, para demonstrar, de nada difere daquele modo; mas o ser estará nas grandezas existentes.

Como, porém, as causas se dividem em quatro, é manifesto que o infinito é causa como matéria; e que para ele o ser é privação; e que o sujeito por si é o próprio contínuo e sensível. Parece também que todos os outros usam o infinito como matéria. Por isso, é inconveniente fazê-lo continente, e não contido.

390. Posta a definição do infinito, aqui, a partir da definição dada, dá a razão do que se diz sobre o infinito.

E primeiro, daquilo que se diz sobre a adição e a divisão do infinito;

segundo, de que o infinito se encontra segundo certa ordem em coisas diversas, onde diz: o infinito, porém, não é o mesmo etc.;

terceiro, de que os matemáticos usam o infinito, onde diz: não remove, porém, a razão etc.;

quarto, de que o infinito se põe como princípio, onde diz: como, porém, as causas etc.

Acerca do primeiro, faz duas coisas:

primeiro, dá a razão do que se diz sobre o infinito quanto à divisão ou à adição nas grandezas;

segundo, do que se diz nos números, por comparação com as grandezas, onde diz: razoavelmente, porém etc.

391. Acima se disse que a adição ao infinito se encontra nas grandezas de tal modo que, contudo, nem toda grandeza determinada é excedida por ela. Mas a divisão ao infinito encontra-se nas grandezas de tal modo que, dividindo, se ultrapassa para menos qualquer quantidade, como acima se expôs. Ora, diz que isso acontece conforme à razão: porque, como o infinito tem razão de matéria, é contido por dentro como a matéria; e aquilo que contém é a espécie e forma. Ora, é manifesto pelo que se disse no segundo livro que o todo tem razão de forma, e as partes, razão de matéria. Como, pois, nas grandezas se vai do todo às partes pela divisão, é razoável que ali não se encontre nenhum termo que não seja transcendido pela divisão infinita. Mas na adição vai-se das partes ao todo, que tem razão de forma que contém e termina: por isso é razoável que haja alguma quantidade determinada que a adição infinita não transcenda.

392. Em seguida, quando diz: razoavelmente, porém etc., dá a razão do infinito nos números, por comparação com as grandezas. Pois diz-se que no número se encontra algum termo para menos, que não é possível transcender dividindo; mas não se encontra nenhum termo para mais, porque, para qualquer número, é possível encontrar outro maior por adição. Nas grandezas, porém, é o inverso, como se disse.

E dá a razão disto; e primeiro, por que nos números se encontra algum termo que não se transcende para menos dividindo. A razão disto é que todo um, enquanto um, é indivisível, assim como um homem indivisível é um só homem e não muitos. Ora, todo número deve resolver-se no um: o que se vê pela própria razão do número. Pois número significa isto: que há vários, mais do que um; e quaisquer pluralidades que excedam o um, mais ou menos, são espécies determinadas de números. Por isso, como o um é da razão do número, e da razão do um é a indivisibilidade, segue-se que a divisão do número para num termo indivisível. Quanto ao que dissera, que é da razão do número que haja vários, mais do que um, manifesta-o pelas espécies; porque dois e três e qualquer outro número se denominam a partir do um. Por isso se diz no livro V da Metafísica que a substância do senário consiste em ser seis vezes um, e não em ser duas vezes três ou três vezes dois: porque se seguiria que de uma só coisa haveria várias definições e várias substâncias; pois um mesmo número se constitui de diversas maneiras a partir de partes diversas.

393. Em seguida, quando diz: para o mais, porém, é sempre possível conceber etc., dá a causa por que nos números a adição excede toda multidão determinada. E diz que podemos sempre conceber, dado qualquer número, outro maior, pelo fato de que a grandeza se divide ao infinito. Pois é manifesto que a divisão causa a multidão: por isso, quanto mais se divide a grandeza, tanto maior multidão resulta; e por isso à divisão infinita das grandezas segue-se a adição infinita dos números. E por isso, assim como a divisão infinita da grandeza não está em ato mas em potência, e excede para menos todo determinado, como se disse, assim a adição infinita dos números não está em ato mas em potência, e excede toda multidão determinada. Mas este número, que assim se multiplica ao infinito, não é número separado do corte das grandezas.

394. Acerca disso, deve-se saber que a divisão, como se disse, causa a multidão. Ora, a divisão é dupla:

uma formal, que é pelos opostos;

e outra segundo a quantidade.

A primeira divisão causa a multidão, que é dos transcendentais, segundo o ente se divide pelo um e pelos muitos:

mas a divisão da quantidade contínua causa o número, que é espécie da quantidade, enquanto tem razão de medida. E este número é multiplicável ao infinito, assim como também a grandeza é divisível ao infinito;

mas a multidão que se segue à divisão formal das coisas não se multiplica ao infinito; pois as espécies das coisas são determinadas, como também a quantidade do universo. E por isso diz que este número, que se multiplica ao infinito, não se separa da divisão do contínuo. Mas este número tampouco é infinito como algo permanente, mas como algo sempre existente em fazer-se, enquanto sucessivamente se adiciona sobre qualquer número dado; assim como acontece também com o tempo e com o número do tempo. Pois o número do tempo cresce sucessivamente pela adição de um dia a outro dia, não porque todos os dias existam ao mesmo tempo.

395. Em seguida, quando diz: nas grandezas, porém etc., mostra que nas grandezas se dá o contrário. Pois o contínuo divide-se ao infinito, como se disse. Mas para o maior não procede ao infinito, nem sequer em potência, porque, quanto cada coisa é em potência, tanto pode ser em ato. Se, pois, estivesse na potência da natureza que alguma grandeza crescesse ao infinito, seguir-se-ia que haveria alguma grandeza sensível infinita; o que é falso, como acima se disse. Resta, pois, que a adição das grandezas ao infinito não está em potência de modo que se exceda toda quantidade determinada: porque se seguiria que haveria algo maior que o céu.

396. Daí se vê ser falso o que alguns dizem, que na matéria-prima há potência para toda quantidade: pois na matéria-prima não há potência senão para uma quantidade determinada.

Vê-se também, pelo que foi dito, a razão por que não é preciso que o número seja tanto em ato quanto é em potência, como aqui se diz da grandeza: porque a adição do número segue-se à divisão do contínuo, pela qual se vai do todo àquilo que está em potência para o número. Por isso, não é preciso chegar a algum ato que finalize a potência. Mas a adição da grandeza conduz ao ato, como se disse.

O Comentador,¹ porém, dá outra razão: porque a potência para a adição da grandeza está numa só e mesma grandeza; mas a potência para a adição dos números está em diversos números, enquanto a qualquer número se pode adicionar algo. Mas esta razão vale pouco, porque, assim como pela adição há uma e outra espécie de número, assim há uma e outra espécie de medida, na medida em que o de dois côvados e o de três côvados se dizem espécies da quantidade. E, além disso, tudo o que se adiciona ao número superior adiciona-se ao inferior; e, segundo isto, num só e mesmo número, a saber, o binário ou o ternário, há potência para uma adição infinita.

397. Em seguida, quando diz: o infinito, porém, não é o mesmo etc., mostra como o infinito se encontra diversamente em coisas diversas. E diz que o infinito não está segundo a mesma razão no movimento, na grandeza e no tempo, como se fosse uma só natureza predicada univocamente deles;

mas diz-se do posterior deles segundo o anterior, como do movimento por causa da grandeza na qual está o movimento, seja local, seja de alteração, seja de aumento; e do tempo, por causa do movimento.

E isto porque o infinito convém à quantidade, e o movimento é quanto segundo a grandeza, e o tempo por causa do movimento, como adiante se verá. E por isso diz que agora usamos estas coisas, mas depois se manifestará de cada uma delas o que é, e que toda grandeza é divisível em grandezas.

398. Em seguida, quando diz: não remove, porém, a razão os matemáticos etc., mostra como os matemáticos usam o infinito. E diz que a referida razão, pela qual pomos que não há grandeza infinita em ato, não remove a consideração dos matemáticos, que usam o infinito; por exemplo, quando o geômetra diz: seja tal linha infinita. Pois não precisam, para a sua demonstração, do infinito em ato, nem o usam: mas só precisam de que haja uma linha finita tão grande quanto lhes é necessária, para que dela possam subtrair o que querem. E para isso basta que haja alguma grandeza máxima; porque a uma grandeza máxima convém poder ser dividida segundo qualquer proporção em relação a outra grandeza dada. Por isso, para demonstrar, não importa se é deste ou daquele modo, a saber, se a quantidade máxima é infinita ou finita. Mas, quanto ao ser da coisa, importa muito se existe ou não existe.

399. Em seguida, quando diz: como, porém, as causas se dividem etc., mostra como o infinito é princípio. E diz que, como há quatro gêneros de causas, como acima se disse, é patente pelo que foi dito que o infinito é causa como matéria: pois o infinito tem o ser em potência, o que é próprio da matéria. Mas a matéria às vezes está sob a forma, e às vezes sob a privação. Ao infinito, porém, não convém a razão de matéria enquanto está sob a forma, mas enquanto está sob a privação: porque o infinito se diz pela remoção da perfeição e do termo.

E por isso acrescenta que para o próprio infinito o ser é privação, isto é, a razão do infinito consiste na privação. E, para que ninguém entenda que o infinito é matéria como a matéria-prima, acrescenta que o sujeito por si da privação que constitui a razão do infinito é o contínuo sensível. E isto se vê, porque o infinito que há nos números é causado pela divisão infinita da grandeza; e de modo semelhante o infinito no tempo e no movimento é causado pela grandeza: por isso resta que o primeiro sujeito do infinito é o contínuo. E, como a grandeza, segundo o ser, não está separada das coisas sensíveis, segue-se que o sujeito do infinito é sensível. E nisto também concordam todos os antigos, que usam o infinito como princípio material. Por isso foi inconveniente que atribuíssem ao infinito o conter, já que não é próprio da matéria conter, mas antes ser contida.

Footnotes

1. Nota do tradutor: “O Comentador”, para os escolásticos, é Averróis (Ibn Rushd, 1126–1198), filósofo de Córdova, cujos comentários a Aristóteles circularam em latim no século XIII. ↩