Lição 4

O finito e o infinito encontram-se de modo semelhante na grandeza e no tempo — demonstra-se que nenhum contínuo é indivisível

E, se qualquer um é infinito, também o outro; e do modo como um o é, assim também o outro: por exemplo, se o tempo é infinito nos extremos, também o comprimento nos extremos; se por divisão, também o comprimento por divisão; e, se o tempo o é de ambos os modos, também o comprimento de ambos.

Por isso também a razão de Zenão supõe algo falso, a saber, que não é possível percorrer coisas infinitas, ou tocar coisas infinitas uma por uma, em tempo finito. Pois de dois modos se diz infinito tanto o comprimento como o tempo, e em geral todo contínuo: ou segundo a divisão, ou nos extremos.

Com coisas infinitas segundo a quantidade, pois, não é possível tocar-se em tempo finito; mas com as que o são segundo a divisão, é possível; pois também o próprio tempo é infinito deste modo. De modo que acontece percorrer o infinito em tempo infinito, e não em finito; e tocar infinitos com infinitos, e não com finitos.

E tampouco o infinito se pode percorrer em tempo finito, nem o finito em infinito; mas, se o tempo for infinito, também a grandeza será infinita; e, se a grandeza, também o tempo.

Seja, pois, uma grandeza finita, aquela em que AB, e um tempo infinito, aquele em que está G. Tome-se, pois, do tempo algo finito, aquilo em que GD.

Neste, pois, percorrerá algo da grandeza; e seja o que foi percorrido aquilo em que BE. E isto ou medirá aquilo em que está AB, ou ficará aquém, ou excederá: pois não faz diferença alguma.

Pois, se sempre percorrer em tempo igual uma grandeza igual à que está em BE, e esta mede o todo, será finito todo o tempo em que a percorrerá. Pois se dividirá em partes iguais, assim como também a grandeza.

Além disso, se não percorrer toda grandeza em tempo infinito, mas é possível percorrer alguma também em tempo finito, como a que é BE, esta medirá a grandeza toda, e percorrerá uma igual em tempo igual. De modo que também o tempo será finito.

Que, porém, não em tempo infinito se percorre o que é BE, é manifesto, se se tomar em outra um tempo finito. Pois, se em tempo menor percorre a parte, é necessário que esta seja finita, existindo o outro termo.

A mesma demonstração, porém, serve também se o comprimento for infinito e o tempo finito.

É manifesto, pois, pelo que foi dito, que nem a linha, nem o plano, nem em geral nenhum dos contínuos será átomo: não só pelo que agora se disse, mas porque acontece dividir-se o indivisível.

Pois, uma vez que em todo tempo há o mais veloz e o mais lento, e o mais veloz percorre mais em tempo igual;

e é possível percorrer tanto o comprimento duplo como o hemiólio (seja, pois, esta a razão do veloz):

tome-se, pois, um mais veloz segundo o hemiólio no mesmo tempo, e dividam-se as grandezas do mais veloz, AB, BC, CD, em três átomos, e as do mais lento em dois, aqueles em que estão EZ, ZI.

Assim também o tempo se dividirá em três átomos: pois percorrerá o igual em tempo igual. Divida-se, pois, o tempo nos que são KL, LM, MN.

De novo, porém, uma vez que o mais lento foi levado por EZ, ZI, também o tempo será cortado em dois. Dividir-se-á, pois, o átomo e impartível: pois não o percorre num átomo, mas em mais. É manifesto, pois, que nenhum dos contínuos é impartível.

777. Depois de mostrar que a grandeza e o tempo se dividem de modo semelhante, aqui mostra que também o finito e o infinito se encontram de modo semelhante na grandeza e no tempo.

E acerca disto faz três coisas:

primeiro, põe o propósito;

segundo, a partir disto resolve uma dúvida, onde diz: por isso também a razão de Zenão etc.;

terceiro, prova o que se propôs, onde diz: e tampouco o infinito etc.

778. Diz, pois, primeiro, que, se qualquer destes dois, a saber, o tempo e a grandeza, for infinito, também o outro é infinito; e do modo como um é infinito, assim também o outro.

E expõe isto distinguindo dois modos do infinito, dizendo que, se o tempo é infinito nos extremos, também a grandeza é infinita nos extremos. Diz-se, porém, que o tempo e a grandeza são infinitos nos extremos porque carecem de extremos; como se imaginássemos uma linha que não terminasse em pontos alguns, ou um tempo que não terminasse em algum primeiro ou último instante.

E, se o tempo for infinito por divisão, também o comprimento será infinito por divisão. E este é o segundo modo do infinito: pois diz-se infinito por divisão o que pode dividir-se ao infinito; o que é da razão do contínuo, como se disse. E, se o tempo fosse infinito de ambos os modos, também o comprimento seria infinito de ambos os modos.

E convenientemente se contrapõem estes dois modos do infinito:

porque o primeiro modo do infinito toma-se da parte dos indivisíveis extremos, de que há privação;

e o segundo modo toma-se segundo os indivisíveis que se assinalam no intermédio; pois a linha divide-se segundo os pontos assinalados dentro da linha.

779. Em seguida, quando diz: por isso também a razão de Zenão etc., remove, a partir do que foi estabelecido, a dúvida de Zenão de Eleia, que queria provar que nada se move de um lugar para outro, por exemplo, de a para b.

Pois é manifesto que entre a e b há infinitos pontos intermédios, uma vez que o contínuo é divisível ao infinito. Se, pois, algo se move de a para b, é preciso que percorra infinitos e que toque cada um dos infinitos; o que não é possível fazer-se em tempo finito. Logo, em nenhum tempo, por maior que seja, contanto que seja finito, pode algo mover-se por um espaço, por menor que seja.

Diz, pois, o Filósofo que essa razão procede de uma estimativa falsa; porque o comprimento e o tempo, e qualquer contínuo, dizem-se infinitos de dois modos, como se disse, a saber, segundo a divisão e nos extremos. Se, pois, houvesse algumas coisas, a saber, o móvel e o espaço, infinitas segundo a quantidade, o que é ser infinito nos extremos, não aconteceria que se tocassem mutuamente em tempo finito. Se, porém, forem infinitas segundo a divisão, isto acontece; porque também o tempo que é finito segundo a quantidade é infinito deste modo, a saber, segundo a divisão.

Donde se segue que o infinito é percorrido, não em tempo finito, mas em tempo infinito; e que os infinitos pontos da grandeza são percorridos em infinitos agoras do tempo, e não em agoras finitos.

Deve-se saber, porém, que esta solução é ad hominem, e não segundo a verdade, como Aristóteles mostrará adiante, no oitavo livro.¹

780. Em seguida, quando diz: e tampouco o infinito etc., prova o que pôs acima.

E primeiro retoma o propósito;

segundo, prova-o, onde diz: seja, pois, uma grandeza etc.

Diz, pois, primeiro, que nenhum móvel pode percorrer um espaço infinito em tempo finito, nem um espaço finito em tempo infinito; mas é preciso, se o tempo é infinito, que a grandeza seja infinita, e vice-versa.

Em seguida, quando diz: seja, pois, uma grandeza etc., prova o que se propôs.

E primeiro, que o tempo não pode ser infinito, se a grandeza for finita;

segundo, que, inversamente, se o comprimento for infinito, o tempo não pode ser finito, onde diz: a mesma demonstração, porém etc.

781. A primeira coisa, mostra-a por duas razões,

das quais a primeira é esta. Seja ab uma grandeza finita, e seja g um tempo infinito. Tome-se, porém, deste tempo infinito alguma parte finita, que seja gd. Uma vez, pois, que o móvel percorre por todo o tempo g toda a grandeza ab, é preciso que nesta parte do tempo que é gd percorra alguma parte daquela grandeza, que seja be. Ora, sendo a grandeza ab finita e maior, e be finita e menor, é necessário que be ou meça toda a ab, ou fique aquém ou exceda ao medir, se be for tomada muitas vezes:

pois assim se tem todo finito menor para com o finito maior, como é patente nos números. Pois o três, que é menor que o seis, mede-o tomado duas vezes; ao cinco, porém, que também é maior, não o mede tomado duas vezes, mas o excede: pois duas vezes três é mais que cinco. De modo semelhante, também ao sete não o mede tomado duas vezes, mas fica aquém dele: pois duas vezes três é menos que sete. Mas, se o três for tomado três vezes, excederá também o sete.

Não faz diferença alguma, porém, de qual destes três modos be se tenha para com ab: porque o mesmo móvel sempre percorrerá uma grandeza igual a be num tempo igual a gd. Mas be mede toda a ab ou a excede, se for tomada muitas vezes. Logo, também gd medirá todo o tempo g ou o excederá, se for tomado muitas vezes; e assim é preciso que seja finito todo o tempo g, em que percorre toda a grandeza finita: porque é preciso que o tempo se divida em partes iguais em número, assim como também a grandeza.

782. Põe a segunda razão ali: além disso etc., que é esta. Ainda que se conceda que algum móvel percorra em tempo infinito a grandeza finita que é ab, não se pode, contudo, conceder que percorra toda grandeza em tempo infinito: porque vemos que muitas grandezas finitas são percorridas em tempos finitos.

Seja, pois, be uma grandeza finita, que seja percorrida em tempo finito. Mas be, sendo finita, mede ab, que também é finita. Ora, o mesmo móvel percorrerá uma grandeza igual a be num tempo finito igual àquele em que a percorria; e assim, quantas grandezas iguais a be se tomavam para constituir toda a ab, tantos tempos finitos iguais se tomarão para medir ou constituir todo o tempo. Donde se segue que todo o tempo é finito.

783. Esta razão difere, porém, da primeira, porque na primeira razão be se punha como parte da grandeza ab, ao passo que aqui be se põe como outra grandeza, separada.

A necessidade desta segunda razão, ele a mostra quando acrescenta: que, porém, não em tempo infinito etc. Pois alguém poderia dizer, cavilando contra a primeira razão, que, assim como percorre toda a grandeza ab em tempo infinito, assim também qualquer parte dela; e assim não percorrerá a parte be em tempo finito. Mas, como não se pode conceder que percorra qualquer grandeza em tempo infinito, foi preciso introduzir a segunda razão, em que be é outra grandeza, que percorra em tempo finito.

E é isto que acrescenta: que é manifesto que o móvel não percorre em tempo infinito a grandeza que é be, se se tomar em outra um tempo finito, isto é, se se tomar alguma grandeza distinta da primeira, que se chame be, a qual percorre em tempo finito.

Pois, se em tempo menor percorre a parte da grandeza do que o todo, é necessário que esta grandeza que é be seja finita, existindo finito o outro termo, a saber, ab.

Como se dissesse: se o tempo em que percorre be é finito, e menor que o tempo infinito em que percorre ab, é necessário que be seja menor que ab; e assim que be seja finita, uma vez que ab é finita.

784. Em seguida, quando diz: a mesma demonstração, porém etc., afirma que é a mesma a demonstração que leva ao impossível, se se disser que o comprimento é infinito e o tempo finito. Porque se tomará algo do comprimento infinito que será finito, assim como se tomava algo do tempo infinito que é finito.

785. Em seguida, quando diz: é manifesto, pois, pelo que foi dito etc., prova que nenhum contínuo é indivisível.

E primeiro diz que se segue um inconveniente, se isto se puser;

segundo, põe a demonstração que leva àquele inconveniente, ali: pois, uma vez que em todo tempo etc.

Diz, pois, primeiro, ser manifesto pelo que foi dito que nem a linha, nem o plano, isto é, a superfície, nem em geral algum contínuo é átomo, isto é, indivisível:

seja pelo que foi dito antes, a saber, que é impossível que algum contínuo se componha de indivisíveis, ao passo que de contínuos se pode compor um contínuo;

seja também porque se seguiria que o indivisível se dividiria.

786. Em seguida, quando diz: pois, uma vez que em todo tempo etc., põe a demonstração que leva a este inconveniente; nela, primeiro pressupõe algumas coisas manifestadas acima.

Uma delas é que em todo tempo é possível mover-se mais velozmente e mais lentamente.

A segunda é que o mais veloz percorre mais grandeza em tempo igual.

A terceira é que é possível haver excesso de velocidade sobre velocidade, e de comprimento percorrido sobre comprimento, segundo diversas proporções: por exemplo, segundo a dupla, que é a proporção de dois para um; e segundo a hemiólia, que contém o todo e a metade, a qual com outro nome se diz sesquiáltera, como a proporção de três para dois; ou segundo qualquer outra proporção.

A partir destas suposições, procede assim. Seja esta a proporção do veloz para o veloz: que se encontre algo mais veloz que outro segundo o hemiólio, isto é, a proporção sesquiáltera; e seja de tal modo que o mais veloz percorra uma grandeza, que seja abcd, composta de três grandezas indivisíveis, das quais uma seja ab, outra bc, a terceira cd. No mesmo tempo, porém, é preciso que o mais lento, segundo a proporção dita, percorra uma grandeza composta de duas grandezas indivisíveis, que seja a grandeza ezi. E, uma vez que o tempo se divide assim como a grandeza, é necessário que o tempo em que o mais veloz percorre as três grandezas indivisíveis se divida em três indivisíveis; porque é preciso que percorra o igual em tempo igual. Seja, pois, o tempo klmn dividido em três indivisíveis. Mas, uma vez que o mais lento, no mesmo tempo, é movido por ezi, que são duas grandezas indivisíveis, é necessário que o tempo se divida em duas metades:

e assim se seguirá que o indivisível se divide. Pois será preciso que o mais lento percorra uma grandeza indivisível em um tempo indivisível e meio. Pois não se pode dizer que percorra uma grandeza indivisível num só tempo indivisível; porque assim o mais veloz não se moveria antes que o mais lento. Resta, pois, que o mais lento percorra a grandeza indivisível em mais que um tempo indivisível e em menos que dois; e assim será preciso que um tempo indivisível se divida.

E do mesmo modo se segue que a grandeza indivisível se divide, se se puser que o mais lento é movido por três grandezas indivisíveis em três tempos indivisíveis. Pois o mais veloz, num só tempo indivisível, será movido por mais que uma grandeza indivisível e por menos que duas.

Donde se torna manifesto que nenhum contínuo pode ser indivisível.

Footnotes

1. Nota do tradutor: Ad hominem: isto é, suficiente para responder ao adversário nos termos em que ele propôs a dificuldade, mas não para explicar a coisa em si mesma. Aristóteles retoma o argumento de Zenão em Física VIII, 8, onde o resolve pela distinção entre a divisão em ato e a divisão em potência do contínuo. ↩