Lição 11

Resolvem-se os argumentos de Zenão, com os quais tentou excluir todo movimento

Zenão, porém, raciocina mal e comete paralogismo. Se, com efeito, diz ele, tudo sempre repousa ou se move quando está num espaço igual a si, e o que se desloca está sempre no agora, a flecha que se desloca está imóvel. Isto, porém, é falso. Pois o tempo não se compõe de agoras indivisíveis, assim como tampouco nenhuma outra grandeza.

Quatro, porém, são os argumentos de Zenão sobre o movimento, que causam dificuldade aos que os resolvem.

O primeiro trata do não se mover, pelo fato de que o que se desloca precisa chegar ao meio antes que ao fim; sobre ele já fizemos as distinções nos argumentos anteriores.

O segundo é o chamado Aquiles. É este: que o mais lento, correndo, jamais será alcançado pelo velocíssimo; pois é necessário que o perseguidor chegue antes ao ponto de onde partiu o que foge; por isso é necessário que o mais lento tenha sempre algo à frente.

Este argumento é o mesmo que o do corte em dois; difere, porém, em que a grandeza tomada não se divide em duas partes.

Sucede, pois, por esse argumento, que o mais lento não seja alcançado; mas chega-se ao mesmo que no corte em dois. Em ambos, com efeito, sucede não se atingir o termo, dividida de algum modo a grandeza. Mas acrescenta-se neste que nem o velocíssimo — o que se disse com tragédia — alcança o mais lento ao persegui-lo. Por isso é necessário que a solução seja a mesma.

Pretender, porém, que o que vai à frente não seja alcançado é falso. Enquanto vai à frente, com efeito, não será alcançado; será alcançado, contudo, se se conceder que se percorre a distância finita. Estes são, pois, os dois argumentos.

O terceiro, que acaba de ser dito, é que a flecha que se desloca está parada. Isto sucede porque se toma o tempo como composto de agoras; não concedido isto, com efeito, não haverá silogismo.

O quarto é o dos que se movem no estádio, a partir da contrariedade de grandezas iguais ao longo de iguais, umas a partir do fim do estádio, outras a partir do meio, com igual velocidade.

Nele julga suceder que a metade do tempo é igual ao dobro.

O engano, porém, está em pretender que, com igual velocidade, se percorra em tempo igual uma grandeza igual, quer ao longo do que se move, quer ao longo do que repousa. Isto, porém, é falso.

Sejam as grandezas iguais paradas, em que estão os AAA; outras, em que estão os BBB, começando do meio dos A, iguais a eles em número e em grandeza; outras, em que estão os CCC, a partir do último, iguais a estes em número e em grandeza, e com velocidade igual à dos B.

Sucede, pois, que o primeiro B está ao mesmo tempo com o último A, e o primeiro C, ao longo dos que se movem uns contra os outros.

Sucede, porém, que o C passa ao longo de todos os A, e o B ao longo da metade dos A. Por isso, o tempo é a metade; pois um e outro está, em tempo igual, ao longo de cada um.

Ao mesmo tempo, porém, sucede que o B passou ao longo de todos os C; pois o primeiro B e o primeiro C estarão ao mesmo tempo nos extremos contrários; e (o C) se faz ao longo de cada um dos B em tempo igual àquele em que (se faz ao longo) de cada um dos A, como ele diz, porque ambos se fazem em tempo igual ao longo dos A.

Este é, pois, o argumento. Incorre, porém, na falsidade mencionada.

Tampouco, pois, quanto à mudança na contradição, haverá para nós algo impossível: como se, mudando algo do não branco para o branco, não estivesse em nenhum dos dois, e, portanto, não fosse nem branco nem não branco. Pois, se não está todo em um ou em outro, nem por isso deixará de se dizer branco ou não branco;

pois algo se diz branco ou não branco não por ser todo assim, mas porque o são as partes mais numerosas ou mais próprias; não é o mesmo, porém, não estar nisto e não estar todo nisto.

E de modo semelhante se dá no ser e no não ser, e nas outras coisas que se opõem segundo a contradição: pois estará necessariamente em um dos opostos, mas não estará sempre, todo ele, fora de ambos.

Além disso, no círculo e na esfera, e em geral nas coisas que se movem em si mesmas, (diz) que sucederá que elas repousem. Pois por certo tempo estão no mesmo lugar, tanto elas como suas partes; por isso repousarão e se moverão ao mesmo tempo.

Primeiro, com efeito, as partes não estão no mesmo (lugar) em tempo algum. Depois, também o todo muda sempre para outro.

Pois não é a mesma a circulação tomada a partir do A e a que se toma a partir do B e do C e de cada um dos outros pontos, a não ser como o homem músico e o homem, porque é por acidente.

Por isso, muda sempre de uma para outra, e de modo algum repousará. E do mesmo modo se dá na esfera e nas outras coisas que se movem em si mesmas.

860. Depois que o Filósofo determinou acerca da divisão do movimento e do repouso, aqui exclui certas coisas pelas quais alguns erravam acerca do movimento.

E acerca disto faz três coisas:

primeiro, resolve os argumentos de Zenão, que negava totalmente que houvesse movimento;

segundo, mostra que o indivisível não se move, contra Demócrito, que afirmava que os indivisíveis se movem sempre, onde diz: mostradas, porém, estas coisas etc.;

terceiro, mostra que toda mudança é finita, contra Heráclito, que afirmava que todas as coisas se movem sempre, onde diz: a mudança, porém etc.

Acerca do primeiro, faz duas coisas:

primeiro, expõe certo argumento de Zenão, que diz respeito ao que imediatamente antes havia dito sobre o movimento, e o resolve;

segundo, explica por ordem todos os seus argumentos, onde diz: quatro, porém, são os argumentos etc.

861. Diz, pois, primeiro que Zenão raciocinava mal e se servia de um silogismo aparente para mostrar que nada se move, nem mesmo aquilo que parece mover-se velocissimamente, como a flecha que se desloca. E seu argumento era este. Tudo o que está num lugar igual a si ou se move ou repousa; mas tudo o que se desloca, em qualquer agora, está em algum lugar igual a si; logo, também em qualquer agora ou se move ou repousa. Mas não se move; logo, repousa. Se, porém, em nenhum agora se move, mas antes parece repousar, segue-se que em todo o tempo não se move, mas antes repousa.

Este argumento poderia resolver-se pelo que acima se mostrou, que no agora nada nem se move nem repousa. Mas esta solução não excluiria a intenção de Zenão: basta a Zenão, com efeito, poder mostrar que em todo o tempo não se move, o que parece seguir-se de não se mover em nenhum agora dele. Por isso Aristóteles resolve de outro modo, e diz que é falso o que o argumento conclui, e que não se segue das premissas.

Para que algo se mova em algum tempo, com efeito, é preciso que se mova em qualquer parte daquele tempo; ora, os agoras não são partes do tempo, pois o tempo não se compõe de ‘agoras’ indivisíveis, assim como nenhuma grandeza se compõe de indivisíveis, como acima se provou; donde não se segue que algo não se mova no tempo pelo fato de não se mover em nenhum agora.

862. Em seguida, quando diz: quatro, porém, são os argumentos etc., expõe em série todos os argumentos de que Zenão se servia para destruir o movimento.

E acerca disto faz três coisas:

primeiro, manifesta como destruía por seus argumentos o movimento local;

segundo, como destruía as outras espécies de mudança, onde diz: tampouco, pois, quanto à mudança etc.;

terceiro, como destruía especialmente o movimento circular, onde diz: além disso, no círculo etc.

863. Acerca do primeiro, expõe quatro argumentos; e é isto o que diz: que Zenão se servia de quatro argumentos contra o movimento, que causavam dificuldade a muitos que os queriam resolver. O primeiro deles é este. Se algo se move por todo um espaço, é preciso que percorra o meio antes de chegar ao fim; mas, sendo aquele meio divisível, será preciso também que percorra antes o meio daquele meio, e assim ao infinito, já que a grandeza é divisível ao infinito; ora, não é possível percorrer infinitos em algum tempo finito; logo, nada pode mover-se.

Diz, pois, Aristóteles que acima, por volta do princípio deste sexto livro, resolveu este argumento pelo fato de que o tempo se divide em infinitos do mesmo modo que a grandeza. Esta solução, porém, dirige-se mais a quem interroga, se é possível percorrer infinitos em tempo finito, do que à própria questão, como dirá no oitavo; ali resolve este argumento pelo fato de que o móvel não usa os infinitos que há na grandeza como existentes em ato, mas como existentes em potência. O que se move usa algum ponto do espaço como existente em ato quando o usa como princípio e como fim; e então é necessário que ali pare, como ali se mostrará. E, se assim fosse preciso percorrer infinitos como que existentes em ato, nunca se chegaria ao fim.

864. Expõe o segundo argumento onde diz: o segundo é o chamado etc.; e diz que a este segundo argumento chamavam Aquiles, como que invencível e insolúvel. E o argumento era este. Se algo se move, segue-se que o que corre mais devagar, se começou a mover-se primeiro, nunca será alcançado ou atingido por nenhum velocíssimo. O que provava assim. Se o lento começou a mover-se antes do velocíssimo por algum tempo, nesse tempo percorreu algum espaço; logo, antes que o velocíssimo que persegue possa atingir o lentíssimo que foge, é necessário que vá daquele lugar de onde partiu o que foge até aquele lugar a que chegou o que foge no tempo em que o perseguidor não se movia. Mas é preciso que o velocíssimo percorra esse espaço em algum tempo, e nesse tempo o mais lento, por sua vez, percorre algum espaço, e assim sempre. Logo, o mais lento tem sempre algo à frente, isto é, algum espaço em que precede o velocíssimo que o persegue; e assim o mais veloz nunca atingirá o mais lento. Isto, porém, é inconveniente. Logo, deve-se antes dizer que nada se move.¹

865. Para resolver este argumento, diz que é o mesmo que o primeiro, que procedia do corte do espaço em duas metades, quanto à força do termo médio;

mas difere dele em que uma grandeza tomada do espaço não se divide em duas metades, mas segundo a proporção do excesso do mais veloz sobre o mais lento no movimento.

Pois no primeiro tempo, em que só o mais lento se movia, toma-se uma grandeza maior; no segundo tempo, porém, em que o mais veloz percorre o espaço mencionado, por ser menor, toma-se uma grandeza menor percorrida pelo mais lento, e assim sempre.

Donde, porque o tempo e a grandeza se dividem sempre, parece suceder por este argumento que o mais lento nunca é alcançado pelo mais veloz.

Mas isto tende ao mesmo que se dizia no primeiro argumento sobre a divisão da grandeza em duas metades: porque em ambos os argumentos parece suceder que o móvel não possa chegar até certo termo, por causa da divisão da grandeza ao infinito, de qualquer modo que se divida, a saber, ou em duas metades, como procedia o primeiro argumento, ou segundo o excesso do mais veloz sobre o mais lento, como procedia o segundo. Mas neste segundo argumento acrescenta-se que o velocíssimo não pode atingir o mais lento enquanto o persegue; o que se disse com certa tragédia, isto é, com certo engrandecimento das palavras para provocar admiração; mas nada acrescenta à força do argumento.

Donde é patente que é necessário que a solução deste segundo argumento e a do primeiro sejam a mesma. Assim como no primeiro argumento se concluía algo falso, a saber, que o móvel nunca chegaria ao termo da grandeza, por causa da divisão infinita da grandeza, assim é falso o que o segundo argumento pretende concluir, que o mais lento que vai à frente nunca será alcançado pelo mais veloz que o segue; o que não é outra coisa senão que o móvel não chega a termo algum.

É verdade, com efeito, que, enquanto o mais lento vai à frente, o mais veloz não o alcança. Contudo, algum dia o alcançará, se se conceder que o móvel pode percorrer uma grandeza finita em tempo finito. Pois o mais veloz que persegue percorrerá toda aquela grandeza com que o mais lento que foge o precedia, e ainda uma maior, em menos tempo do que aquele em que o mais lento se move adiante por alguma quantidade determinada; e assim não só o atingirá, mas ainda o ultrapassará. Estes são, pois, os dois argumentos de Zenão, assim resolvidos.

866. Expõe o terceiro argumento onde diz: o terceiro etc. E diz que o terceiro argumento de Zenão era aquele que expôs acima, antes de começar a enumerar os argumentos, a saber, que a flecha, quando se desloca, repousa. E, como acima se disse, isto parece suceder porque ele supõe que o tempo se compõe de ‘agoras’. Se isto não se concede, com efeito, não poderá silogizar em favor do que propõe.

867. Expõe o quarto argumento onde diz: o quarto etc.

Acerca dele faz três coisas:

primeiro, expõe o argumento;

segundo, a solução, onde diz: o engano, porém, está etc.;

terceiro, manifesta-o por exemplos, onde diz: sejam as grandezas iguais paradas etc.

Diz, pois, primeiro que o quarto argumento de Zenão procedia de algumas coisas que se movem num estádio, de modo que haja duas grandezas iguais que se movam ao longo de iguais, isto é, por algum espaço do estádio igual a cada uma delas em quantidade; e seja este movimento a partir da contrariedade, isto é, de modo que uma das grandezas iguais se mova por aquele espaço do estádio para um lado e a outra para o outro lado; de tal modo, porém, que uma das grandezas móveis comece a mover-se a partir do fim do estádio que lhe é igual, e a outra comece a mover-se a partir do meio do estádio, ou do espaço no estádio dado; e cada uma se mova com igual velocidade. Feita esta suposição, julgava Zenão suceder que a metade do tempo fosse igual ao dobro; e, sendo isto impossível, queria inferir daí ainda que é impossível que algo se mova.²

868. Em seguida, quando diz: o engano, porém, está etc., expõe a solução. E diz que Zenão se enganava nisto: tomava, de um lado, que o móvel se move ao longo de uma grandeza movida e, de outro, que se move ao longo de uma grandeza em repouso, igual à grandeza movida. E, porque se supõe igual a velocidade dos móveis, pretendia que o movimento dos igualmente velozes ao longo de grandezas iguais, das quais uma se move e a outra repousa, se faça em tempo igual. O que é patentemente falso.

Porque, quando algo se move ao longo de uma grandeza em repouso, não há ali senão um movimento; mas, quando algo se move ao longo de uma grandeza movida, há ali dois movimentos. E, se forem no mesmo sentido, acrescentar-se-á ao tempo; se forem em sentidos opostos, diminuir-se-á do tempo, segundo a quantidade do outro movimento. Porque, se a grandeza ao longo da qual um móvel se move se mover no mesmo sentido com igual velocidade, ou até maior, o móvel nunca poderá percorrê-la; se, porém, a grandeza se mover com menor velocidade, o móvel a percorrerá algum dia, mas em tempo maior do que se ela repousasse. O contrário se dá, porém, se a grandeza se move em sentido oposto ao do móvel: porque, quanto mais velozmente a grandeza se move, tanto em menor tempo o móvel a percorre; porque ambos os movimentos operam para que se percorram mutuamente.

869. Em seguida, quando diz: sejam etc., manifesta em termos o que havia dito. Suponha-se, com efeito, que haja três grandezas iguais entre si, em cada uma das quais se ponha a; e sejam estas grandezas paradas, isto é, não movidas; como se se entende que há um espaço de três côvados, em cada um dos quais se escreve a. E haja outras três grandezas iguais entre si, em cada uma das quais se escreva b; por exemplo, se entendermos que há um móvel de três côvados. Comecem estas grandezas a mover-se a partir do meio do espaço. Haja também outras três grandezas, iguais aos b em número, em grandeza e em velocidade, e escreva-se nelas c, e comecem a mover-se a partir do último do espaço, a saber, a partir do último a.

Feita, pois, esta suposição, sucederá que o primeiro b, por seu movimento, chegará a estar junto com o último a; e, por sua vez, o primeiro c, por seu movimento, chegará a estar com o primeiro a, oposto ao último; e, ao mesmo tempo, estará também com o último b, como que passando ao longo dos que se movem uns contra os outros, isto é, ao longo de todos os b, que se movem em sentido contrário a ele. Feito isto, consta que este primeiro c passou todos os a, mas o b não passou senão a metade. Sendo, pois, b e c de igual velocidade, e percorrendo o igualmente veloz uma grandeza menor em tempo menor, segue-se que o tempo em que b chega ao último a é a metade do tempo em que c chega ao primeiro a, o oposto; pois em tempo igual um e outro, a saber, b e c, está ao longo de cada um; isto é, em tempo igual c e b percorrem qualquer a.

Suposto, pois, isto, que o tempo em que b chega ao último a é a metade do tempo em que c chega ao primeiro a, o oposto, deve-se considerar ainda como Zenão queria concluir que esta metade do tempo é igual àquele dobro. Uma vez que se põe o tempo do movimento de c como o dobro do tempo do movimento de b, suponha-se que na primeira metade do tempo b repousava e c se movia, e assim c, naquela metade do tempo, chegou até a metade do espaço onde está b; e então comece b a mover-se para um lado e c para o outro. Quando, porém, b chega ao último a, é preciso que tenha percorrido todos os c, porque o primeiro b e o primeiro c estão ao mesmo tempo nos extremos contrários, a saber, um no primeiro a e o outro no último; e, como ele dizia, c se faz ao longo de cada b em tempo igual àquele em que percorre cada um dos a. E isto porque ambos, a saber, b e c, percorrem um a em tempo igual; e assim parece que, se b percorre (um a) em tempo igual àquele em que percorre o c, c percorre em tempo igual o b e o a. Logo, o tempo em que c percorre todos os b é igual ao tempo em que percorreu todos os a. Ora, o tempo em que c percorre todos os b é igual ao tempo em que c ou b percorre a metade dos a, como se disse. Mas provou-se que o tempo em que b percorre a metade dos a é a metade do tempo em que c percorre todos os a. Logo, segue-se que a metade é igual ao dobro, o que é impossível.

Este é, pois, o argumento de Zenão. Mas incorre na falsidade mencionada: porque toma que c percorre no mesmo tempo o b, que se move em sentido contrário, e o a, que repousa; o que é falso, como acima se disse.

870. Em seguida, quando diz: tampouco, pois, quanto etc., expõe o argumento com que Zenão excluía a mudança que se dá entre contraditórios. Dizia, com efeito, assim. Tudo o que muda, enquanto muda, não está em nenhum dos termos: porque, enquanto está no termo de que, ainda não muda; e, quando está no termo para o qual, já mudou. Se, pois, algo muda de um contraditório para o outro, como do não branco para o branco, segue-se que, enquanto muda, não é nem branco nem não branco, o que é impossível.

Embora este inconveniente se siga para alguns, que afirmam que o impartível se move, a nós, porém, que afirmamos que tudo o que se move é partível, nenhum impossível sucede. Pois não é preciso, se não está todo em um dos extremos, que por isso não se possa dizer branco ou não branco. Pode suceder, com efeito, que uma parte dele seja branca e outra não branca. E algo não se diz branco por ser todo assim, mas porque as partes mais numerosas e mais principais são tais, as quais são mais propriamente aptas a ser tais: porque não é o mesmo não estar nisto e não estar todo nisto, a saber, no branco ou no não branco.

E o que se disse do branco ou do não branco deve entender-se do ser ou do não ser absolutamente, e de todas as coisas que se opõem segundo a contradição, como o quente e o não quente, e semelhantes. Pois sempre será preciso que o que muda esteja em um dos opostos, porque será denominado por aquele que nele está mais principalmente; mas não se segue que esteja sempre, todo ele, fora de ambos os extremos, como Zenão pensava.

Deve-se saber, porém, que esta resposta basta para repelir o argumento de Zenão, que é o que aqui principalmente se pretende. Como, porém, está a verdade acerca disto, mostrar-se-á mais plenamente no oitavo. Pois não é verdade em qualquer coisa que uma parte se altere ou se gere antes de outra, mas às vezes o todo de uma vez, como acima se disse; e então não tem lugar esta resposta, mas aquela que se expõe no oitavo.

871. Em seguida, quando diz: além disso, no círculo etc., resolve o argumento de Zenão com que destruía o movimento esférico. Dizia, com efeito, que não é possível que algo se mova circular ou esfericamente, ou de qualquer outro modo tal que algumas coisas se movam em si mesmas, isto é, não avançando a partir do lugar em que estão, mas no próprio lugar. E provava isto com o seguinte argumento. Tudo o que por algum tempo, segundo o todo e as partes, está em um e o mesmo lugar repousa; mas todas as coisas deste gênero, tanto elas como suas partes, estão no mesmo lugar por algum tempo, mesmo enquanto se supõe que se movem; logo, segue-se que se movem e repousam ao mesmo tempo, o que é impossível.

A este argumento, porém, o Filósofo se opõe de duas maneiras.

Primeiro, quanto ao que dissera, que as partes da esfera movida estão no mesmo lugar por algum tempo: contra isto Aristóteles diz que as partes da esfera movida não estão no mesmo lugar em tempo algum. Zenão, com efeito, tomava o lugar do todo; e é verdade que, enquanto a esfera se move, nenhuma parte sai fora do lugar da esfera inteira; mas Aristóteles fala do lugar próprio da parte, no modo em que a parte pode ter lugar. Disse-se, com efeito, no quarto, que as partes do contínuo estão em lugar em potência. É manifesto, porém, no movimento esférico, que a parte muda de lugar próprio, mas não o lugar do todo: porque, onde esteve uma parte, sucede outra parte.

Segundo, opõe-se ao mencionado argumento de Zenão quanto ao que disse, que o todo permanece no mesmo lugar por um tempo. Contra isto Aristóteles diz que também o todo muda sempre para outro lugar, o que se patenteia assim. Para que haja dois lugares diversos, não é preciso que um daqueles lugares esteja totalmente fora do outro; mas às vezes o segundo lugar está em parte unido ao primeiro lugar e em parte separado dele, como se pode considerar nas coisas que se movem com movimento reto. Se, com efeito, um corpo de um côvado se move do lugar ab para o lugar bc, cada um dos quais é de um côvado, enquanto se move de um lugar para outro é preciso que em parte deixe um e entre no outro; assim, se deixa do lugar ab o quanto é ad, entrará no lugar bc o quanto é be. É manifesto, pois, que o lugar de é outro que o lugar ab, não, porém, totalmente separado dele, mas em parte.

Se, porém, se concedesse que aquela parte do móvel que entra no segundo lugar regressasse à parte do lugar que o móvel deixa, haveria dois lugares, e, contudo, em nada separados um do outro; mas difeririam só pela razão, conforme se tomasse o princípio do lugar em pontos diversos, a saber, onde está o princípio do móvel, isto é, algum ponto que se toma no móvel como princípio; e assim haverá dois lugares segundo a razão, mas um só lugar segundo o sujeito.

E assim se deve entender o que aqui diz, que não é a mesma circulação conforme se toma como começando em a, e como começando em b, e como começando em c, ou em qualquer outro ponto; a não ser que porventura se diga a mesma circulação pelo sujeito, como o homem músico e o homem, porque um é acidente do outro. Donde é manifesto que sempre se move de um lugar circular para outro, e não repousa, como Zenão se esforçava por provar. E do mesmo modo se dá na esfera e em todas as outras coisas que se movem dentro do lugar próprio, como a roda, a coluna ou qualquer outra coisa semelhante.

Footnotes

1. Nota do tradutor: Aquiles, o herói da Ilíada, é ali chamado “o de pés velozes”; o argumento toma o nome do mais rápido dos corredores. Na forma em que o paradoxo se tornou proverbial, ele persegue uma tartaruga, que não figura no texto de Aristóteles. ↩

2. Nota do tradutor: O estádio era a pista de corrida dos jogos gregos. O argumento imagina nele fileiras de corpos que se cruzam em sentidos opostos, ao lado de uma fileira parada. ↩