Lição 6

Dois modos pelos quais se divide o movimento: que coisas se dividem juntamente com ele

O movimento, porém, é divisível de dois modos:

de um modo, pelo tempo;

de outro, segundo os movimentos das partes daquilo que se move;

como, se AC se move todo, também AB se moverá, e BC.

Seja, pois, o movimento de AB, DE, e o de BC, EZ: os movimentos das partes. É necessário, pois, que o todo, DZ, seja o movimento de AC. Pois se moverá segundo este, visto que cada uma das partes se move segundo o respectivo movimento; pois nenhuma se moverá segundo o movimento da outra. Portanto, o movimento todo é o movimento da grandeza toda.

Além disso, se todo movimento é de algo, e o movimento todo DZ não é de nenhuma das partes (pois cada um é de uma parte) nem de nenhuma outra coisa

(pois, daquilo de que o todo é do todo, também as partes são das partes; ora, as partes de DZ são das partes de ABC, e de nenhumas outras: pois de muitas coisas não havia um só movimento):

então o movimento todo será da grandeza ABC.

Além disso, se há outro movimento do todo, como TI, subtrair-se-á dele o movimento de cada uma das partes. Estes, porém, serão iguais a DEZ: pois de um só há um só movimento.

Portanto, se o todo TI se dividir nos movimentos das partes, TI será igual a DZ. Se, porém, faltar algo, como KI, este não será movimento de nada:

nem do todo nem das partes, porque um só é de um só, nem de nenhuma outra coisa; pois o movimento contínuo é de certas coisas contínuas.

E de modo semelhante se exceder segundo a divisão.

Portanto, se isto é impossível, é necessário que seja o mesmo e igual.

Esta divisão, pois, é segundo os movimentos das partes, e é necessário que ela seja de tudo o que tem partes.

A outra, porém, segundo o tempo. Pois, uma vez que todo movimento está no tempo, e todo tempo é divisível, e em menor tempo há menor movimento, é necessário que todo movimento se divida segundo o tempo.

Uma vez, porém, que tudo o que se move se move em algo e em certo tempo, e há movimento de todo o que se move, é necessário que sejam as mesmas as divisões do tempo, do movimento, do próprio ser movido, daquilo que se move e daquilo em que está o movimento. Mas não é de modo semelhante em todas as coisas em que está o movimento: a do quanto é por si mesma, a do qual, por acidente.

Tome-se, pois, o tempo em que se move, A, e o movimento, B. Se, pois, segundo o movimento todo se moveu no tempo todo, na metade se moveu por um menor; e, dividido isto de novo, por um menor que este, e assim sempre.

E de modo semelhante, se o movimento é divisível, também o tempo é divisível. Pois, se pelo todo no todo, pela metade na metade; e de novo, pelo menor no menor.

E do mesmo modo se dividirá também o próprio ser movido. Seja, pois, C o ser movido.

Segundo a metade do movimento, pois, será menor que o todo; e de novo segundo a metade da metade, e assim sempre.

Também é possível, pondo o ser movido segundo cada um dos dois movimentos, como segundo DC e CE, dizer que o todo será segundo o todo.

Pois, se houver algo a mais, será o ser movido segundo o mesmo movimento,

como determinamos também que o movimento é divisível nos movimentos das partes.

Pois, tomado o ser movido segundo cada um dos dois, o todo será contínuo.

E de modo semelhante se demonstrará também que o comprimento é divisível, e em geral tudo aquilo em que há mudança, exceto algumas coisas, que o são por acidente. Pois o que muda é divisível; dividido um, pois, todos se dividirão.

E quanto a serem finitos ou infinitos, será de modo semelhante em todos.

Segue-se, porém, sobretudo, que todos se dividam e sejam infinitos, a partir do próprio mutante: pois de imediato está no mutante o divisível e o infinito.

Que é divisível, pois, mostrou-se antes; que é infinito, será manifesto no que segue.

806. Antepostas algumas coisas que são necessárias para a divisão do movimento, aqui começa a tratar da divisão do movimento.

E divide-se em duas partes:

na primeira, trata da divisão do movimento;

na segunda, a partir do que foi determinado, exclui alguns erros acerca do movimento, onde diz: Zenão, porém, raciocina mal etc.

A primeira parte divide-se em duas:

na primeira, determina sobre a divisão do movimento;

na segunda, sobre a divisão do repouso, onde diz: uma vez, porém, que tudo ou se move etc.

A primeira divide-se em duas:

na primeira, trata da divisão do movimento;

na segunda, do finito e do infinito acerca do movimento (pois ambos parecem pertencer à razão do contínuo, a saber, o divisível e o infinito), onde diz: uma vez, porém, que tudo o que se move se move no tempo etc.

A primeira parte divide-se em duas:

na primeira, mostra como se divide o movimento;

na segunda, trata da ordem das partes do movimento, onde diz: uma vez, porém, que tudo o que muda muda de algo etc.

Acerca do primeiro, faz duas coisas:

primeiro, põe os dois modos pelos quais se divide o movimento;

segundo, mostra quais são as coisas que se dividem juntamente com o movimento, ali: uma vez, porém, que tudo o que se move se move em algo etc.

Acerca do primeiro, faz duas coisas:

primeiro, põe os modos pelos quais se divide o movimento;

segundo, expõe-nos, onde diz: seja, pois, o movimento de ab etc.

807. Diz, pois, primeiro, que o movimento se divide de dois modos.

De um modo, segundo o tempo; porque se mostrou que o movimento não está no agora, mas no tempo.

De outro modo, divide-se segundo os movimentos das partes do móvel. Seja, pois, ac o móvel, e divida-se: pois se mostrou que tudo o que se move é divisível. Se, pois, ac se move todo, é necessário que se mova cada uma das suas partes, a saber, ab e bc.

Deve-se considerar, porém, que a divisão do movimento segundo as partes do móvel pode entender-se de dois modos.

De um modo, de maneira que uma parte se mova depois da outra: o que, por certo, não é possível naquilo que se move todo por si; porque, daquilo que se move todo por si, todas as partes se movem ao mesmo tempo, não separadamente do todo, mas no próprio todo.

De outro modo, pode entender-se esta divisão do movimento segundo as partes do móvel assim como a divisão de qualquer acidente cujo sujeito é divisível se considera segundo a divisão do seu sujeito; como, se todo este corpo é branco, a brancura se dividirá por acidente segundo a divisão do corpo.

E assim se toma aqui a divisão do movimento segundo as partes do móvel: de modo que, assim como cada uma das partes do móvel se move ao mesmo tempo no todo, assim os movimentos de cada uma das partes sejam simultâneos. E por isso esta divisão do movimento, que é segundo as partes do móvel, é outra que aquela que é segundo o tempo, na qual duas partes do movimento não são simultâneas.

Se, contudo, o movimento de uma parte se comparar ao movimento da outra não absolutamente, mas segundo algum sinal determinado, então o movimento de uma parte também precede no tempo o movimento da outra parte. Pois, se o móvel abc se mover na grandeza efg, de modo que ef seja igual ao todo ac, é manifesto que bc passará por este sinal f antes que ab; e segundo isto correrão juntas a divisão do movimento segundo as partes do tempo e segundo as partes do móvel.

808. Em seguida, quando diz: seja, pois, o movimento etc., esclarece os modos postos:

e primeiro mostra que o movimento se divide segundo as partes do móvel;

segundo, que se divide segundo as partes do tempo, onde diz: a outra, porém, segundo o tempo etc.

Mostra o primeiro com três razões,

das quais a primeira é esta. Visto que, movido o todo, movem-se as partes, seja de o movimento da parte que é ab, e seja ez o movimento da outra parte, que é bc. Assim, pois, como o móvel todo ac se compõe de ab e bc, assim o movimento todo dz se compõe destes dois, de e ez.

Uma vez, pois, que cada uma das partes do móvel se move segundo a respectiva parte do movimento, de tal modo, contudo, que nenhuma das partes do móvel se move segundo o movimento da outra parte

(porque, segundo isto, o movimento todo seria de uma só parte, que se moveria com o seu movimento e com o movimento da outra parte),

é preciso dizer que o movimento todo dz é do móvel todo ac; e assim o movimento do todo se divide pelo movimento das partes.

809. Põe a segunda razão onde diz: além disso, se todo movimento etc., que é esta. Todo movimento é de algum móvel; ora, o movimento todo dz não é de nenhuma das duas partes, porque nenhuma se move segundo o movimento todo, mas cada uma se move segundo as partes do movimento, como foi dito.

Nem, de novo, se pode dizer que seja movimento de qualquer outro móvel separado de ac: porque, se todo este movimento fosse de todo outro móvel, seguir-se-ia que as partes deste movimento seriam das partes daquele móvel;

mas as partes deste movimento, que se chama dz, são das partes deste móvel, que são ab, bc, e de nenhumas outras;

porque, se fossem destas e de outras, seguir-se-ia que um só movimento seria de muitas coisas, o que é impossível.

Resta, pois, que o movimento todo seja da grandeza toda, assim como também as partes, das partes; e assim o movimento do todo se divide segundo as partes do móvel.

810. Põe a terceira razão onde diz: além disso, se há etc., que é esta. Tudo o que se move tem algum movimento; se, pois, o movimento todo que é dz não é do móvel todo que é ac, é preciso que outro movimento seja dele; e seja esse movimento ti. Deste movimento ti, pois, subtraiam-se por divisão os movimentos de cada uma das partes, os quais é preciso que sejam iguais àqueles que são de e ez, por esta razão: porque de um só móvel não há senão um só movimento; donde não se pode dizer que os movimentos das partes, que se subtraem do movimento ti, que se supõe ser do todo, sejam maiores ou menores que de e ez, que se supunham ser os movimentos das mesmas partes.

Ou, pois, os movimentos das partes esgotam por divisão o todo ti, ou ficam aquém dele, ou o excedem. Se esgotam o todo ti, e não excedem nem ficam aquém, segue-se que o movimento ti é igual ao movimento dz, que é o movimento das partes, e não difere dele.

Se, porém, os movimentos das partes ficam aquém de ti, de modo que ti exceda dz em ki, esta parte do movimento que é ki não será de nenhum móvel. Pois não é movimento do todo ac, nem das suas partes; porque de um só não há senão um só movimento, e tanto ao todo como às partes já se atribuiu outro movimento.

Nem, de novo, se pode dizer que seja de algum outro móvel; porque o movimento todo ti é um movimento contínuo, e é preciso que o movimento contínuo seja de coisas contínuas, como se mostrou no quinto livro. Donde não pode ser que a parte deste movimento contínuo, que é ki, seja de algum móvel que não seja contínuo com abc.

De modo semelhante, segue-se também um inconveniente se se disser que o movimento das partes excede segundo a divisão; porque se seguirá que as partes excedem o todo, o que é impossível.

Se, pois, é impossível que exceda ou fique aquém, é necessário que o movimento das partes seja igual e o mesmo que o movimento do todo.

Esta divisão, pois, é segundo os movimentos das partes; e é necessário que tal partição se encontre no movimento, porque tudo o que se move tem partes.

811. Em seguida, quando diz: a outra, porém, segundo o tempo etc., mostra que o movimento se divide segundo a divisão do tempo, com esta razão. Todo movimento está no tempo, e todo tempo é divisível, como foi provado. Uma vez, pois, que em menor tempo há menor movimento, é necessário que todo movimento se divida segundo o tempo.

812. Em seguida, quando diz: uma vez, porém, que tudo o que se move etc., mostra que coisas se dividem juntamente com o movimento.

E acerca disto faz três coisas:

primeiro, põe cinco coisas que se dividem juntamente;

segundo, mostra que em todas as coisas ditas se encontram juntamente o finito e o infinito, ali: e quanto a serem finitos etc.;

terceiro, mostra em qual destas se encontram primeiro a divisão e o infinito, ali: segue-se, porém, sobretudo etc.

Acerca do primeiro, faz duas coisas:

primeiro, propõe o que pretende;

segundo, esclarece o proposto, onde diz: tome-se, pois, o tempo etc.

Diz, pois, primeiro, que, porque tudo o que se move se move em algo, isto é, segundo algum gênero ou espécie, e também em algum tempo, e ainda de qualquer móvel há algum movimento, é necessário que estas cinco coisas se dividam juntamente, a saber,

o tempo, o movimento, o próprio ser movido, o móvel que se move e aquilo em que está o movimento, seja o lugar, seja a qualidade, seja a quantidade.

Mas, contudo, a divisão não é do mesmo modo em todas as coisas em que está o movimento; em algumas é por si, em outras por acidente: por si, em todas as que pertencem ao gênero da quantidade, como no movimento local, e também no aumento e na diminuição; por acidente, nas que pertencem à qualidade, como no movimento de alteração.

813. Em seguida, quando diz: tome-se, pois, o tempo etc., esclarece o que dissera.

E primeiro quanto a que o tempo e o movimento se dividem juntamente;

segundo, que o movimento e o próprio ser movido se dividem juntamente, onde diz: e do mesmo modo etc.;

terceiro, mostra o mesmo do movimento e daquilo em que está o movimento, onde diz: e de modo semelhante se demonstrará etc.

Acerca do primeiro, faz duas coisas:

primeiro, mostra que, com a divisão do tempo, se divide o movimento;

segundo, que, inversamente, com a divisão do movimento se divide o tempo, onde diz: e de modo semelhante, se o movimento etc.

Diz, pois, primeiro: suponha-se que o tempo em que algo se move seja a, e que o movimento que está neste tempo seja b.

É manifesto, porém, que, se algo se move por toda a grandeza no tempo todo, na metade do tempo se move por uma grandeza menor. Ora, é o mesmo mover-se com todo o movimento e por toda a grandeza, e com parte do movimento e por parte da grandeza.

Donde é manifesto que, se no tempo todo se move com todo o movimento, numa parte do tempo se moverá com um movimento menor; e, dividido de novo o tempo, encontrar-se-á um movimento menor; e assim sempre. Disso se evidencia que o movimento se divide segundo a divisão do tempo.

Em seguida, quando diz: e de modo semelhante, se o movimento etc., mostra que, inversamente, se o movimento se divide, também o tempo se divide. Porque, se pelo movimento todo se move no tempo todo, pela metade do movimento mover-se-á na metade do tempo, e sempre será menor o movimento em menor tempo, se o móvel for o mesmo ou igualmente veloz.

814. Em seguida, quando diz: e do mesmo modo etc., mostra que o movimento e o ser movido se dividem juntamente.

E acerca disto faz duas coisas:

primeiro, mostra que o próprio ser movido se divide segundo a divisão do movimento;

segundo, que o movimento se divide segundo a divisão do ser movido, onde diz: também é possível, pondo etc.

Diz, pois, primeiro, que do mesmo modo se prova que o próprio ser movido se divide segundo a divisão do tempo e do movimento; e seja c o próprio ser movido. É manifesto, porém, que algo não se move tanto segundo uma parte do movimento quanto segundo o movimento todo. É manifesto, pois, que, segundo a metade do movimento, a parte do ser movido será menor que todo o próprio ser movido, e ainda menor segundo a metade da metade; e assim se procederá sempre. Logo, assim como o tempo e o movimento sempre se dividem, assim também o próprio ser movido.

Em seguida, quando diz: também é possível, pondo etc., prova que, inversamente, o movimento se divide segundo a divisão do ser movido. Sejam, pois, duas partes do movimento, dc e ce, segundo cada uma das quais algo se move. E assim, se às partes do ser movido correspondem partes do movimento, é preciso dizer que ao todo corresponde o todo: porque, se houvesse algo a mais num que no outro, poder-se-á argumentar aqui do ser movido para o movimento, assim como acima argumentamos, quando mostramos que o movimento do todo é divisível nos movimentos das partes, de modo que não pode nem ficar aquém nem exceder. De modo semelhante, também as partes do ser movido não podem exceder as partes do movimento nem ficar aquém delas: pois, uma vez que é necessário tomar o ser movido segundo cada uma das partes do movimento, é necessário que todo o ser movido seja contínuo, correspondendo ao movimento todo. E assim sempre as partes do ser movido correspondem às partes do movimento, e o todo ao todo; e assim um se divide segundo o outro.

815. Em seguida, quando diz: e de modo semelhante se demonstrará etc., mostra o mesmo daquilo em que está o movimento. E diz que do mesmo modo se pode demonstrar que o comprimento em que algo se move segundo o lugar é divisível segundo a divisão do tempo, do movimento e do próprio ser movido. E o que dizemos do comprimento no movimento local deve-se entender também de tudo aquilo em que está o movimento; exceto que algumas coisas são divisíveis por acidente, como as qualidades no movimento de alteração, como foi dito. E daí vem que todas estas coisas se dividem assim: porque aquilo que muda é divisível, como se mostrou acima. Donde, dividida uma destas, é preciso que todas se dividam.

816. Em seguida, quando diz: e quanto a serem finitos etc., mostra que, assim como as coisas ditas se seguem umas às outras na divisibilidade, assim se seguem também no serem finitas ou infinitas: de modo que, se uma delas for finita, todas serão finitas; e, se infinita, do mesmo modo.

817. Em seguida, quando diz: segue-se, porém, sobretudo etc., mostra em qual das coisas ditas se encontram primeiro a divisibilidade e o finito ou infinito. E diz que é sobretudo a partir do próprio que muda que se segue, de todas as outras, que se dividam e que sejam finitas ou infinitas: porque aquilo que é primeiro por natureza no movimento é o próprio móvel, e imediatamente lhe convém, por sua natureza, ser divisível e ser finito ou infinito; e assim, a partir dele, deriva-se para as outras a divisibilidade ou o finito.

Como, porém, o próprio móvel é divisível, e por ele as outras coisas se dividem, mostrou-se antes. Mas como isto se dá também quanto ao infinito, será mostrado mais adiante, neste mesmo sexto livro.