Lição 9

O finito e o infinito encontram-se juntos na grandeza, no tempo, no móvel e no movimento

Uma vez, porém, que tudo o que se move se move no tempo, e em mais tempo se percorre maior grandeza, é impossível mover-se num tempo infinito através de uma grandeza finita, não movendo-se sempre através da mesma ou de alguma parte dela, mas em todo o tempo através de toda ela.

Que, pois, se algo se move com igual velocidade, é necessário que o finito se mova num tempo finito, é manifesto.

Tomada, com efeito, uma parte que meça o todo, em tantos tempos iguais quantas são as partes foi movido através do todo.

Por isso, uma vez que estas são finitas, tanto cada uma em quantidade como todas no número de vezes, também o tempo será finito. Pois será tantas vezes tão grande quanto o tempo da parte, multiplicado segundo a multidão das partes.

Mas, se não for com igual velocidade, nada difere.

Seja, pois, AB o espaço finito, que tenha sido percorrido num tempo infinito, e CD o tempo infinito.

Se, pois, é necessário que uma parte tenha sido percorrida antes da outra, e isto é manifesto, a saber, que no anterior e no posterior do tempo foi percorrida uma e outra parte. Pois sempre em mais tempo terá sido percorrida outra parte, quer mude com igual velocidade, quer não mude com igual velocidade; e quer o movimento se intensifique, quer se afrouxe, quer permaneça, nem por isso menos.

Tome-se, pois, alguma parte do espaço AB, que seja AE, que meça AB.

Esta, pois, foi percorrida em certo tempo do tempo infinito: pois não pode ser no infinito, já que o todo é no infinito.

E de novo, se tomamos outra, tão grande quanto AE, é necessário que seja num tempo finito: pois o todo é no infinito.

E, tomando assim, uma vez que do infinito não há parte alguma que o meça (pois é impossível que o infinito se componha de finitos, sejam iguais ou desiguais, porque as coisas finitas em multidão e grandeza são medidas por algo uno, quer sejam iguais, quer desiguais, contanto que finitas em grandeza, nem por isso menos), e o espaço finito é medido pelas quantidades que compõem AB:

logo, move-se através de AB num tempo finito. E do mesmo modo no repouso. Por isso, não é possível que algo uno e o mesmo esteja sempre a fazer-se nem a corromper-se.

A mesma razão, porém, vale também para mostrar que nem num tempo finito é possível mover-se através do infinito, nem repousar, quer o que se move se mova regularmente, quer irregularmente.

Tomada, com efeito, uma parte que meça o tempo todo, nela percorrerá certa quantidade da grandeza, e não toda (pois a toda percorre no tempo todo);

e de novo, num tempo igual, outra, e em cada um do mesmo modo, quer seja igual, quer desigual à que se tomou no princípio;

nada difere, porém, contanto que cada uma seja finita.

É manifesto, com efeito, que, dividido o tempo, o infinito não se esgota, sendo finita a subtração, tanto pelo quanto como pelo número de vezes.

Por isso, não percorrerá o infinito num tempo finito.

Nada difere, porém, que a grandeza seja infinita de um só lado ou de ambos: pois a razão será a mesma.

Demonstradas, porém, estas coisas, é manifesto que tampouco o infinito pode percorrer uma grandeza finita num tempo finito, pela mesma causa. Pois, numa parte do tempo, o que a percorrerá é algo finito, e em cada uma do mesmo modo; por isso, no tempo todo, algo finito.

Uma vez, porém, que o finito não percorrerá o infinito num tempo finito, é manifesto que tampouco o infinito percorrerá o finito.

Pois, se o infinito percorre o finito, é necessário que também o finito percorra o infinito: pois nada difere qual dos dois seja o que se move; em ambos os casos, com efeito, o finito percorrerá o infinito. Pois, quando se move o infinito em que está A, alguma parte finita dele estará junto de B, como CD; e de novo outra e outra, e sempre assim.

Por isso, sucede ao mesmo tempo que o infinito seja movido através do finito e que o finito percorra o infinito.

Talvez, com efeito, não seja possível de outro modo que o infinito se mova através do finito senão percorrendo o finito o infinito, seja sendo transportado através dele, seja medindo-o. Por isso, uma vez que isto é impossível, o infinito não percorrerá o finito.

Mas tampouco o infinito percorrerá o infinito num tempo finito. Pois, se percorre o infinito, percorre também o finito: pois no infinito há o finito.

Além disso, também tomado o tempo, a demonstração será a mesma.

Uma vez, porém, que nem o finito percorrerá o infinito, nem o infinito o finito, nem o infinito se move num tempo finito, é manifesto que tampouco haverá movimento infinito num tempo finito. Pois que diferença há entre fazer infinito o movimento ou a grandeza? É necessário, com efeito, que, se um é infinito, também o outro seja infinito: pois toda mudança de lugar está no lugar.

841. Depois que o Filósofo tratou da divisão do movimento, aqui trata do finito e do infinito no movimento: pois, assim como a divisão pertence à razão do contínuo, assim também o finito e o infinito. E, assim como acima mostrou que a divisão se encontra simultaneamente no movimento, na grandeza, no tempo e no móvel, assim mostra agora o mesmo acerca do infinito.

Por isso, acerca disto faz três coisas:

primeiro, mostra que o infinito se encontra de modo semelhante na grandeza e no tempo;

segundo, que juntamente com estes se encontra de modo semelhante também no móvel, em: demonstradas, porém, estas coisas etc.;

terceiro, que se encontra de modo semelhante no movimento, em: uma vez, porém, que nem o finito etc.

Acerca do primeiro, faz duas coisas:

primeiro, mostra que, se a grandeza é finita, o tempo não pode ser infinito;

segundo, que, inversamente, se o tempo é finito, a grandeza não pode ser infinita, em: a mesma razão, porém etc.

Acerca do primeiro, faz duas coisas:

primeiro, propõe o que pretende;

segundo, prova o que se propôs, em: que, pois, se algo se move etc.

842. Primeiro, pois, repete duas coisas necessárias para mostrar o proposto.

Das quais uma é que tudo o que se move se move no tempo;

a segunda é que em mais tempo o mesmo móvel percorre maior grandeza.

E, supostas estas duas, pretende provar uma terceira, a saber, que é impossível percorrer em tempo infinito uma grandeza finita. O que, contudo, se deve entender de modo que o que se move não reitere muitas vezes o percurso pela mesma grandeza ou por alguma parte dela, mas de modo que em todo o tempo se mova através de toda a grandeza. E acrescentou isto para resguardar-se do movimento circular, que se dá sobre uma grandeza finita e, no entanto, pode ser em tempo infinito, como ele dirá no livro oitavo.

843. Em seguida, quando diz: que, pois etc., prova o que se propôs:

e primeiro, se se dá um móvel que se mova com igual velocidade através de toda a grandeza;

segundo, se não se move uniforme e regularmente, em: mas, se não for etc.

Diz, pois, primeiro que, se há algum móvel que se move com igual velocidade através do todo, é necessário, se percorre uma grandeza finita, que isto seja em tempo finito. Tome-se, com efeito, uma parte da grandeza que meça o todo; seja, por exemplo, a terça ou a quarta parte da grandeza. Se, pois, o móvel se move com igual velocidade através do todo, e é igualmente veloz o que percorre espaço igual em tempo igual, segue-se que em tempos iguais, e tantos quantas são as partes da grandeza, o móvel percorre a grandeza toda: por exemplo, se se tomou a quarta parte da grandeza, percorrê-la-á em algum tempo, e outra quarta parte em outro tempo igual; e assim percorre a grandeza toda em quatro tempos iguais.

Porque, pois, as partes da grandeza são finitas em número, e cada uma é também finita segundo a quantidade, e percorre todas as partes outras tantas vezes, isto é, em outros tantos tempos iguais, segue-se que o tempo todo em que percorre a grandeza toda é finito. Será medido, com efeito, por um tempo finito: porque será tantas vezes tão grande quanto o tempo em que percorre a parte quantas vezes a grandeza toda é tão grande quanto a parte. E assim o tempo todo será multiplicado segundo a multiplicação das partes. Ora, todo múltiplo é medido pelo submúltiplo, como o dobro pela metade e o triplo pelo terço, e assim dos demais. E o tempo em que percorre a parte é finito: porque, se se admite que seja infinito, seguir-se-á que em tempo igual percorre o todo e a parte; o que é contra o que se supôs. E assim é preciso que o tempo todo seja finito; porque nenhum infinito é medido por um finito.

844. Mas, porque alguém poderia dizer que, embora as partes da grandeza sejam iguais e meçam a grandeza toda, pode, contudo, acontecer que as partes do tempo não sejam iguais, como quando não há igual velocidade em todo o movimento, e assim o tempo em que se move através da parte da grandeza não medirá o tempo em que se move através do todo, por isso em seguida, em: mas, se não for etc., mostra que isto em nada difere quanto ao proposto.

Seja, pois, ab um espaço finito, que tenha sido percorrido no tempo infinito cd. É necessário em todo movimento que se percorra uma parte antes da outra; e isto também é manifesto: que na parte anterior e na posterior do tempo se percorre uma e outra parte da grandeza. E assim é preciso que nem duas partes da grandeza se percorram numa só e mesma parte do tempo, nem que em duas partes do tempo se percorra uma só e mesma parte da grandeza. E assim é preciso, se em algum tempo se percorreu alguma parte da grandeza, que em mais tempo se percorra não só aquela parte da grandeza, mas, com ela, também outra; e isto indiferentemente, quer o móvel se mova com igual velocidade, quer não; seja porque a velocidade se intensifica cada vez mais, como nos movimentos naturais, seja porque se afrouxa cada vez mais, como nos movimentos violentos.

Supostas, pois, estas coisas, tome-se alguma parte do espaço ab, que seja ae, e meça todo o ab, isto é, de modo que seja parte alíquota dele, a terça ou a quarta. Esta parte do espaço, pois, foi percorrida em algum tempo finito. Não se pode, com efeito, admitir que tenha sido percorrida em tempo infinito; porque o espaço todo foi percorrido em tempo infinito, e a parte se percorre em menos tempo que o todo. Tomemos de novo outra parte do espaço, igual à parte ae; e pela mesma razão é necessário que esta parte se percorra em tempo finito, porque o espaço todo se percorre em tempo infinito. E, tomando sempre assim, tomarei tantos tempos finitos quantas são as partes do espaço; e deles se constituirá o tempo todo em que se move através do espaço todo.

Ora, é impossível que alguma parte do infinito meça o todo, quer segundo a grandeza, quer segundo a multidão: porque é impossível que o infinito conste de partes finitas em número, das quais cada uma seja também finita em quantidade, quer se diga que essas partes são iguais, quer desiguais; porque tudo o que é medido por algo uno, quer segundo a multidão, quer segundo a grandeza, tem de ser finito.

E digo multidão e grandeza porque algo nem por isso é menos medido pelo fato de ter grandeza finita, quer as partes que o medem sejam iguais, quer desiguais. Quando, com efeito, são iguais, então a parte mede o todo tanto pela multidão como pela grandeza; quando, porém, são desiguais, mede-o pela multidão, mas não pela grandeza. Assim, pois, é patente que todo tempo que tem partes finitas em número e quantidade, sejam iguais ou desiguais, é finito. Mas o espaço finito é medido por algumas quantidades finitas, de que se compõe ab; e é preciso que as partes do tempo e as partes da grandeza sejam iguais em número, e cada qual finita em quantidade: logo, resta que se move através do espaço todo em tempo finito.

845. Em seguida, quando diz: a mesma razão, porém, vale etc., mostra que, inversamente, se o tempo é finito, também a grandeza é finita. E diz que pela mesma razão se pode mostrar que o espaço infinito não pode ser percorrido em tempo finito; nem, de novo, pode o repouso ser infinito em tempo finito; e isto indiferentemente, quer algo se mova regularmente, isto é, com igual velocidade, quer não regularmente. Porque, uma vez que se supõe finito o tempo, tome-se alguma parte do tempo que meça o tempo todo, na qual o móvel percorra alguma parte da grandeza (não, porém, toda, porque a toda percorre no tempo todo); e de novo, em tempo igual, percorre outra parte da grandeza. E de modo semelhante, para cada parte do tempo se tomará alguma parte da grandeza; e isto indiferentemente, quer a parte da grandeza tomada em segundo lugar seja igual à primeira parte (o que acontece quando se move com igual velocidade), quer seja desigual (o que acontece quando não se move com igual velocidade). Isto, com efeito, em nada difere, contanto que se suponha que qualquer parte tomada da grandeza é finita; o que é preciso dizer, do contrário mover-se-ia tanto numa parte do tempo quanto no todo. Assim, com efeito, é manifesto que pela divisão do tempo se esgotaria todo o espaço infinito por alguma subtração finita: porque, dividindo-se o tempo em partes finitas iguais, e devendo haver tantas partes da grandeza quantas do tempo, segue-se que o espaço infinito se consumiria, feita uma subtração finita, pelo fato de que a grandeza tem de dividir-se tantas vezes quanto o tempo. Isto, porém, é impossível. Logo, é manifesto que o espaço infinito não é percorrido em tempo finito. E isto indiferentemente, quer a grandeza do espaço seja infinita de um lado, quer de ambos: porque a razão é a mesma para um e outro caso.

846. Em seguida, quando diz: demonstradas, porém, estas coisas etc., mostra que o infinito e o finito se encontram no móvel de modo semelhante à grandeza e ao tempo.

E acerca disto faz três coisas:

primeiro, mostra que o móvel não é infinito, se o tempo e a grandeza são finitos;

segundo, que o móvel não é infinito, se a grandeza é infinita e o tempo finito, em: mas tampouco o infinito etc.;

terceiro, que o móvel não pode ser infinito, se a grandeza é finita e o tempo infinito, em: além disso, também tomado o tempo etc.

O primeiro, mostra-o com duas razões.

Acerca da primeira delas, diz que, demonstrado que a grandeza finita não é percorrida em tempo infinito, nem a infinita em tempo finito, é manifesto pela mesma causa que tampouco um móvel infinito pode percorrer uma grandeza finita em tempo finito. Tome-se, com efeito, alguma parte do tempo finito. Nessa parte, quem percorrerá o espaço finito não será o móvel todo, mas uma parte do móvel; e na outra parte do tempo do mesmo modo; e assim das demais. E assim será preciso tomar tantas partes do móvel quantas se tomam partes do tempo. Ora, o infinito não se compõe de partes finitas, como se mostrou. Logo, seguir-se-á que o móvel que se move no tempo todo finito é finito.

847. A segunda razão, põe-na em: uma vez, porém, que o finito etc. E esta segunda razão difere da primeira porque na primeira se tomava por princípio o mesmo termo médio com que demonstrava acima; aqui, porém, toma-se por princípio a própria conclusão acima demonstrada. Mostrou-se, com efeito, acima que o móvel finito não pode percorrer o espaço infinito em tempo finito; por isso é manifesto que pela mesma razão tampouco o móvel infinito pode percorrer o espaço finito em tempo finito. Porque, se o móvel infinito percorre o espaço finito, segue-se que também o móvel finito percorre o espaço infinito: porque, sendo tanto o móvel como o espaço quantidades, dadas duas quantidades, nada difere qual delas se mova e qual repouse. Pois se terá por espaço o que repousa, e por móvel o que se move. É manifesto, com efeito, que, qualquer dos dois que se suponha mover-se, segue-se que o finito percorre o infinito. Mova-se, com efeito, o infinito a, e seja cd alguma parte finita dele. Quando o todo se move, esta parte finita estará junto de algum sinal do espaço, que seja b; e, continuado o movimento, de novo outra parte do móvel infinito virá a estar junto daquele espaço, e assim sempre. Por isso, assim como o móvel percorre o espaço, assim também o espaço de certo modo percorre o móvel, enquanto diversas partes do móvel se alternam sucessivamente junto do espaço. Por isso é patente que sucede ao mesmo tempo que o móvel infinito se mova através do espaço finito e que o finito percorra o infinito. Pois não é possível de outro modo que o infinito se mova através do espaço finito senão percorrendo o finito o infinito: ou de modo que o finito seja transportado através do infinito, como quando o móvel é finito e o espaço infinito; ou de modo que ao menos o finito meça o infinito, como quando o espaço é finito e o móvel infinito. Então, com efeito, embora o finito não seja transportado através do infinito, o finito mede, contudo, o infinito, enquanto o espaço finito vem a estar junto de cada uma das partes do móvel infinito. Porque, pois, isto é impossível, segue-se que o móvel infinito não percorre o espaço finito em tempo finito.

848. Em seguida, quando diz: mas tampouco o infinito etc., mostra que não pode haver móvel infinito, sendo infinito o espaço e finito o tempo. E é isto que diz: que o móvel infinito não percorre o espaço infinito em tempo finito. Pois em todo infinito há algo finito; se, pois, o móvel infinito percorre o espaço infinito em tempo finito, segue-se que percorre um espaço finito em tempo finito; o que é contra o que antes se mostrou.

849. Em seguida, quando diz: além disso etc., diz que a demonstração será a mesma se se toma tempo infinito e espaço finito. Porque, se o móvel infinito percorre o espaço finito em tempo infinito, segue-se que em alguma parte finita do tempo percorre alguma parte do espaço; e assim o infinito percorrerá o finito em tempo finito; o que é contra o que antes se mostrou.

850. Em seguida, quando diz: uma vez, porém, que nem o finito etc., mostra que o finito e o infinito se encontram de modo semelhante no movimento, como também nas coisas mencionadas. E diz que, porque o móvel finito não percorre o espaço infinito, nem o móvel infinito o espaço finito, nem o móvel infinito o espaço infinito em tempo finito, segue-se disto que não pode haver movimento infinito em tempo finito. A quantidade do movimento, com efeito, toma-se segundo a quantidade do espaço; por isso, não difere dizer infinito o movimento ou a grandeza. É necessário, com efeito, que, se um deles for infinito, também o outro seja infinito, porque não pode haver parte alguma da mudança de lugar fora do lugar.