Lição 1

Mostra-se que nenhum contínuo se compõe de indivisíveis

Se, porém, o contínuo, o que toca e o consecutivo são como foi definido antes (contínuas são as coisas cujos extremos são um; as que se tocam, aquelas cujos extremos estão juntos; consecutivas, aquelas entre as quais não há nada intermédio de seu gênero), é impossível que algo contínuo seja composto de indivisíveis,

como a linha de pontos, se de fato a linha é contínua e o ponto, indivisível.

Pois nem são um os extremos dos pontos: pois não há nele isto como extremo e aquilo como alguma parte do indivisível. Nem os extremos estão juntos: pois do impartível não há extremo algum; com efeito, uma coisa é o extremo e outra aquilo de que é extremo.

Além disso, é necessário que os pontos de que é feito o contínuo ou sejam contínuos ou se toquem uns aos outros; e a mesma coisa vale em todos os indivisíveis.

Contínuos, pois, não serão, pela razão dita. E tudo o que toca, ou o todo toca o todo, ou a parte a parte, ou a parte o todo.

E, uma vez que o impartível é indivisível, é necessário que o todo toque o todo.

Ora, o todo que toca o todo não é contínuo: pois o contínuo tem uma parte e outra parte; e divide-se em partes assim diversas e separadas pelo lugar.

Mas tampouco será consecutivo o ponto ao ponto, ou o agora ao agora, de modo que deles se faça o comprimento ou o tempo.

Pois são consecutivas as coisas entre as quais não há nenhum intermédio próximo; ora, entre os pontos sempre há a linha como intermédio, e entre os agoras, o tempo.

Além disso, dividir-se-iam em indivisíveis, se cada um se divide naquilo de que é composto. Mas nenhum dos contínuos é divisível em impartíveis.

Nenhum outro gênero, porém, pode ser intermédio dos pontos e dos agoras. Pois, se houver, é manifesto que será ou divisível ou indivisível; e, se divisível, ou em indivisíveis ou em sempre divisíveis. E isto é o contínuo.

É manifesto, porém, que todo contínuo é divisível em sempre divisíveis. Pois, se o contínuo se dividisse em indivisíveis, haveria indivisível tocando indivisível: pois um é o extremo dos contínuos, e eles se tocam.

750. Depois de o Filósofo ter determinado a divisão do movimento em suas espécies, e a unidade e a contrariedade dos movimentos e dos repousos, neste sexto livro pretende determinar o que pertence à divisão do movimento enquanto se divide em partes quantitativas.

E divide-se em duas partes.

Na primeira, mostra que o movimento, como também todo contínuo, é divisível;

na segunda, mostra de que modo o movimento se divide, onde diz: é necessário, porém, que também o próprio agora etc.

A primeira parte divide-se em duas:

na primeira, mostra que nenhum contínuo se compõe de indivisíveis;

na segunda, mostra que nenhum contínuo é indivisível, onde diz: é manifesto, pois, pelo que foi dito etc.

A primeira parte divide-se em duas:

na primeira, mostra que nenhum contínuo se compõe de indivisíveis;

na segunda parte (porque as provas expostas parecem pertencer antes à grandeza), mostra que a mesma razão vale para a grandeza, o movimento e o tempo, onde diz: é da mesma razão, porém etc.

Acerca do primeiro faz duas coisas:

primeiro, retoma algumas definições postas acima, das quais agora se serve para demonstrar o proposto;

segundo, prova o que se propôs, onde diz: pois nem são um etc.

751. Diz, pois, primeiro que, se são convenientes as definições postas antes do contínuo, do que se toca e do que é consecutivo (a saber, que contínuas são as coisas cujos extremos são um; em contato, aquelas cujos extremos estão juntos; e consecutivas, aquelas entre as quais não há nada intermédio de seu gênero),

daí se segue que é impossível que algum contínuo se componha de indivisíveis, como a linha de pontos; se, contudo, a linha se diz algo contínuo, e o ponto algo indivisível.

E acrescenta isto para que ninguém usasse de outro modo o nome de linha e de ponto.

752. Em seguida, quando diz: pois nem são um etc., prova o que se propôs.

E primeiro aduz duas razões para provar o que se propôs;

segundo, esclarece algumas coisas que podiam ser duvidosas em suas provas, onde diz: nenhum outro gênero, porém etc.

Acerca da primeira razão faz duas coisas:

primeiro, mostra que de indivisíveis não se compõe algum contínuo, nem a modo de continuação, nem a modo de contato;

segundo, que nem a modo das coisas que se têm consecutivamente, onde diz: mas tampouco será consecutivo etc.

Acerca do primeiro põe duas razões,

a primeira das quais é a seguinte. Aquilo de que se compõe algo uno, seja a modo de continuação, seja a modo de contato, tem de ter extremos que sejam um, ou que estejam juntos. Mas os extremos dos pontos não podem ser um: porque se diz extremo com respeito a alguma parte; e no indivisível não se pode tomar algo que seja extremo e outra coisa que seja alguma outra parte.

De modo semelhante, não se pode dizer que os extremos dos pontos estejam juntos: porque nada pode ser extremo de uma coisa impartível, já que sempre uma coisa é o extremo e outra aquilo de que é extremo; e no impartível não se pode tomar uma coisa e outra. Resta, pois, que a linha não pode compor-se de pontos, nem a modo de continuação, nem a modo de contato.

753. Põe a segunda razão onde diz: além disso, é necessário etc., que é a seguinte. Se de pontos se constitui algum contínuo, é necessário que ou sejam contínuos entre si, ou se toquem; e a mesma razão vale para todos os outros indivisíveis: que deles não se compõe o contínuo.

Para provar, porém, que os indivisíveis não podem ser contínuos entre si, basta a primeira razão.

Mas, para provar que não podem tocar-se, aduz-se outra razão, que é a seguinte. Tudo o que toca outro, ou um todo toca o outro todo, ou a parte de um toca a parte do outro, ou a parte de um toca o outro todo. Mas, como o indivisível não tem parte, não se pode dizer que a parte de um toque a parte do outro, ou a parte o todo; e assim é necessário, se dois pontos se tocam, que o todo toque o todo.

Mas de duas coisas, das quais uma, toda, toca a outra toda, não se pode compor o contínuo; porque todo contínuo tem partes separadas, de modo que esta seja uma parte e esta outra; e divide-se em partes diversas e distintas pelo lugar, isto é, pela posição, nas coisas que têm posição; ao passo que as que se tocam segundo o todo não se distinguem pelo lugar ou pela posição. Resta, pois, que de pontos não se pode compor a linha a modo de contato.

754. Em seguida, quando diz: mas tampouco etc., prova que o contínuo não se compõe de indivisíveis a modo do que é consecutivo. Pois um ponto não se terá consecutivamente com relação a outro ponto, de modo que deles se possa constituir o comprimento, isto é, a linha; ou um agora com relação a outro agora, de modo que deles se possa compor o tempo: porque uma coisa é consecutiva a outra quando entre elas não há algo intermédio do mesmo gênero, como acima foi exposto. Mas entre dois pontos sempre há uma linha intermédia; e assim, se a linha é composta de pontos, como tu concedes, segue-se que entre dois pontos sempre há outro ponto intermédio. E de modo semelhante entre dois agoras há um tempo intermédio. Logo, a linha não se compõe de pontos, nem o tempo de agoras, como de coisas que se têm consecutivamente.

755. Põe a segunda razão principal aí: além disso, dividir-se-iam etc., a qual se toma de outra definição do contínuo, que acima pôs no início do terceiro livro, a saber, que contínuo é o que é divisível ao infinito; e a razão é a seguinte. Naquilo de que se compõe a linha ou o tempo, nisso se divide; se, pois, cada um deles se compõe de indivisíveis, segue-se que se divide em indivisíveis. Mas isto é falso, já que nenhum dos contínuos é divisível em impartíveis; pois assim não seria divisível ao infinito. Logo, nenhum contínuo se compõe de indivisíveis.

756. Em seguida, quando diz: nenhum outro gênero, porém etc., esclarece duas coisas que dissera acima.

A primeira delas foi que entre dois pontos há uma linha intermédia, e entre dois agoras, um tempo.

E esclarece isso assim. Se há dois pontos, é preciso que difiram segundo o sítio; de outro modo não seriam dois, mas um. Ora, não podem tocar-se, como acima se mostrou; donde resta que distem, e que haja algum intermédio entre eles. Mas nenhum outro intermédio pode haver entre eles senão a linha entre os pontos e o tempo entre os agoras. O que prova assim: porque, se entre os pontos houvesse outro intermédio além da linha, é manifesto que esse intermédio seria ou indivisível ou divisível. Se for indivisível, é preciso que seja distinto de ambos no sítio; e, como não toca, é preciso de novo que haja algum outro intermédio entre o indivisível que se põe como intermédio e os extremos, e assim ao infinito, a não ser que se ponha um intermédio divisível. Se, porém, o intermédio de dois pontos for divisível, ou será divisível em indivisíveis, ou em sempre divisíveis. Mas não se pode dizer que se divida em indivisíveis, porque então voltará a mesma dificuldade: como de indivisíveis se pode compor o divisível. Resta, pois, que esse intermédio seja divisível em sempre divisíveis. Mas esta é a razão do contínuo; logo, esse intermédio será um contínuo. Ora, nenhum outro contínuo pode ser intermédio entre dois pontos senão a linha; logo, entre quaisquer dois pontos há uma linha intermédia. E pela mesma razão, entre quaisquer dois agoras, um tempo; e de modo semelhante nos outros contínuos.

757. Em seguida, quando diz: é manifesto, porém etc., esclarece a segunda coisa que supusera, a saber, que todo contínuo é divisível em divisíveis. Porque, se se admitisse que o contínuo é divisível em indivisíveis, seguir-se-ia que dois indivisíveis se tocariam, para poderem constituir o contínuo. Pois é preciso que dos contínuos haja um só extremo, como aparece pela sua definição, e que as partes do contínuo se toquem; porque, se os extremos são um, segue-se que estão juntos, como se disse no quinto livro. Sendo, pois, impossível que dois indivisíveis se toquem, é impossível que o contínuo se divida em indivisíveis.