Lição 10

Segundo e terceiro argumentos para provar que o corpo que se move circularmente não é infinito

Além disso, se de um tempo finito retirares um tempo finito, o restante deverá ser finito e ter um princípio. Se, porém, o tempo do percurso tem um princípio, também o movimento tem um princípio; logo, também a grandeza que se moveu. O mesmo ocorre nos demais casos. Seja, pois, AGE uma linha infinita em uma direção, a de E; e seja BB uma linha infinita em ambas as direções. Se, portanto, AGE descrever um círculo a partir de G [centro], ao girar, AGE percorrerá, cortando-a, a linha BB em um tempo finito. Pois todo o tempo em que o céu completa uma rotação é finito; portanto, também será finito o tempo retirado, durante o qual a linha se movia até cortar a outra. Haverá, pois, algum princípio em que AGE cortou BB pela primeira vez. Mas isso é impossível. Logo, o infinito não pode girar. Portanto, tampouco o mundo, se fosse infinito.

Além disso, pelo que se segue também é manifesto que o infinito não pode mover-se. Seja A uma linha que se desloca ao longo de B, uma finita ao longo de outra finita. É necessário, portanto, que A se desprenda de B ao mesmo tempo que B se desprende de A: pois, quanto uma abrange da outra, tanto a outra abrange dela. Se, portanto, ambas se moverem em sentidos contrários, separar-se-ão mais depressa; se, porém, uma se deslocar ao longo da outra imóvel, separar-se-ão mais devagar, movendo-se com a mesma velocidade aquela que se desloca ao longo da outra. Mas é manifesto que é impossível percorrer uma linha infinita em tempo finito. Logo, isso se dará em tempo infinito: pois isso foi mostrado anteriormente no tratado sobre o movimento. Ora, não faz diferença que a linha finita se desloque ao longo da infinita ou que a infinita se desloque ao longo daquela: pois, quando uma se desloca ao longo da outra, dá-se o mesmo quer esta se mova, quer não se mova. Todavia, se ambas se moverem uma ao longo da outra, desprender-se-ão mais depressa; embora, por vezes, nada impeça que a linha que se move ao longo de outra em repouso a percorra mais depressa do que percorreria uma linha que se movesse em sentido contrário, se alguém supuser que ambas as linhas movidas em sentidos contrários se deslocam lentamente, ao passo que aquela que se move ao longo da linha em repouso se desloca muito mais depressa que elas. Portanto, não constitui obstáculo ao argumento que uma linha se mova ao longo de outra em repouso, pois é possível que A, em movimento, percorra B, também em movimento, mais devagar. Se, portanto, é infinito o tempo em que a linha finita, movendo-se, se desprende da outra, também deve ser infinito o tempo em que a linha infinita se move ao longo da finita. É impossível, portanto, que o infinito inteiro se mova através do infinito: pois, ainda que se mova através de uma extensão mínima, o tempo deve ser infinito. Contudo, o céu gira e completa toda a sua rotação em tempo finito. Por isso, percorre uma linha finita que contém o círculo inteiro em seu interior, por exemplo, AB. É impossível, portanto, que seja infinito aquilo que se move circularmente.

102. Depois do primeiro argumento, que procurava mostrar que o corpo que se move circularmente não é infinito, porque a distância entre duas linhas que partem do centro seria infinita e impossível de percorrer, apresenta aqui o segundo argumento, baseado no fato de que as linhas traçadas em pensamento no corpo infinito, ou em seu lugar, não podem cortar-se mutuamente.

Nesse argumento, começa por apresentar certo princípio: se de um tempo finito se subtrair um tempo finito, o que resta deve ser finito, porque uma parte do finito não pode ser infinita; caso contrário, o todo seria menor que sua parte. E, se esse tempo restante é finito, segue-se que tem um princípio: pois chamamos finito ao tempo que tem princípio e fim. Ora, demonstrou-se no livro VI da Física que tempo, movimento e móvel se implicam mutuamente quanto a serem finitos ou infinitos. Por isso, se o tempo que mede o percurso, ou movimento, é finito e tem um princípio, é necessário que o movimento seja finito e tenha um princípio, e que também a grandeza movida seja finita e tenha um princípio. E, assim como dizemos isso do movimento do céu, o mesmo deve ocorrer nos outros movimentos e móveis.

103. Estabelecidas essas coisas como princípios, passa a demonstrar o que se propôs. Suponha-se, portanto, que, a partir do centro do corpo infinito, que é A, se prolongue uma linha AGE, infinita em uma direção, isto é, do lado de E; conceba-se que essa linha gira segundo o movimento do corpo inteiro e que, pelo ponto G, descreve certo círculo com seu movimento. Imaginemos também, no espaço concebido em que gira o corpo infinito, uma linha que permaneça imóvel, não passe pelo centro e seja infinita em ambas as direções: seja ela a linha BB. Se, portanto, como se disse, a linha AGE, por seu percurso, descrever um círculo a partir de G, isto é, cujo raio seja AG, ocorrerá que a linha AGE, ao percorrer o círculo mencionado, cortará toda a linha BB em um tempo finito. Pois é manifesto que o raio de um círculo não pode girar sem incidir sobre, ou cortar sucessivamente, toda a linha imóvel imaginada no círculo sem passar pelo centro. E mostra que é finito o tempo em que a linha traçada a partir do centro corta a linha infinita traçada fora do centro pelo fato de que todo o tempo em que o céu se move é finito, como fica claro pelos sentidos; por isso, segue-se que é finita a parte desse tempo que se retira do tempo total, isto é, aquela em que a linha AGE corta a linha BB. Ou, antes, segue-se que é finito o tempo em que a linha que corta se desloca até a linha que é cortada; e esse tempo deve ser retirado de todo o tempo finito, para que se tome certo princípio do tempo restante, segundo o princípio estabelecido acima. Segue-se, portanto, que há algum princípio do tempo em que a linha AGE começa a cortar a linha BB. Isso, porém, é impossível: pois, como corta uma parte antes de outra, se fosse possível assinalar um princípio do tempo em que começa a cortar, seria possível assinalar algum princípio na linha infinita, o que é contrário à razão de infinito. Fica claro, portanto, que um corpo infinito não pode girar circularmente. Por isso, se o mundo for infinito, segue-se que não se move circularmente. Vemos, porém, que o firmamento se move circularmente; logo, não é infinito.

104. Apresenta o terceiro argumento onde diz: Além disso, pelo que se segue etc.; esse argumento é tomado da infinitude do corpo inteiro que se supõe mover-se circularmente. Diz, portanto, que também pelo que se segue é manifesto que um corpo infinito não pode mover-se circularmente. Começa por estabelecer que, se houver duas linhas finitas, uma A e outra B, de modo que A se desloque ao longo de B em repouso, segue-se necessariamente que, ao mesmo tempo, a linha móvel A se separa da linha imóvel B e, inversamente, a linha imóvel B se separa da linha móvel A. A razão disso é que, quanto uma delas abrange da outra, tanto, inversamente, a outra abrange dela. Todavia, se ambas se moverem em sentidos contrários, as linhas se separarão mais depressa; se, porém, uma se mover ao longo da outra em repouso, as linhas se separarão mais devagar, desde que seja igual a velocidade das duas que se movem em sentidos contrários e da única que se move ao longo da outra imóvel. E estabeleceu isso previamente porque é o mesmo o tempo em que uma linha percorre a outra e aquele em que a outra a percorre.

Depois de tornar isso manifesto pelas linhas finitas, aplica-o às linhas infinitas, das quais pretende tratar. E diz ser manifesto que uma linha infinita não pode ser percorrida em tempo finito por uma linha finita; por isso, resta que a linha finita percorra a infinita em tempo infinito, o que foi mostrado anteriormente no tratado sobre o movimento, isto é, no livro VI da Física. Ora, como aparece pelo que foi dito das linhas finitas, não faz diferença que a linha finita se mova ao longo da infinita ou que a infinita se mova ao longo da finita: pois, quando a linha infinita se move ao longo da linha finita, o raciocínio é semelhante, quer a linha finita se mova, quer não se mova; e é manifesto que, se a linha finita se mover, assim como a infinita, cada uma delas percorrerá a outra. Por isso, é manifesto que, mesmo que a linha finita não se mova, o fato de ser percorrida pela linha infinita será semelhante ao de ela própria percorrer aquela. Mas, como havia dito que ocorre o mesmo quer a outra se mova, quer não, mostra em que poderia haver diferença a esse respeito: se ambas as linhas se moverem em sentidos contrários, separar-se-ão mais depressa. Isso, porém, deve ser entendido supondo-se a mesma velocidade, como se disse acima; contudo, por vezes, nada impede que a linha que se move ao longo de outra em repouso a percorra mais depressa do que se se movesse ao longo de uma linha que se deslocasse em sentido contrário. Por exemplo, quando as duas linhas que se movessem em sentidos contrários tivessem movimento lento, ao passo que aquela que se movesse ao longo de outra em repouso tivesse movimento rápido. Fica claro, portanto, que não constitui obstáculo algum a esse argumento que a linha infinita se mova ao longo de uma linha finita em repouso; pois pode acontecer que a linha móvel A percorra a linha B em movimento mais devagar do que se esta não se movesse, desde que se suponha que, estando B em repouso, A se movesse mais depressa.

105. Mostrado, portanto, que não faz diferença a linha infinita mover-se ao longo da finita em repouso ou a linha finita mover-se ao longo da infinita, argumenta a partir disso que, se o tempo em que a linha finita percorre a linha infinita é infinito, segue-se que o tempo em que a linha infinita se move ao longo da linha finita é infinito. Fica claro, portanto, que é impossível o corpo infinito inteiro mover-se por todo o espaço infinito em que imaginamos seu movimento, a saber, em tempo finito: pois, se o infinito se movesse mesmo através de um espaço finito mínimo, seguir-se-ia que o tempo seria infinito; com efeito, provou-se que o infinito se move através do finito em tempo infinito, assim como o finito através do infinito. Vemos, porém, que o céu percorre todo o seu espaço em tempo finito. Por isso, é manifesto que percorre em tempo finito alguma linha finita, por exemplo, aquela que contém em seu interior todo o círculo descrito em torno de seu centro, isto é, a linha AB; isso não ocorreria se fosse infinito. É impossível, portanto, que o corpo que se move circularmente seja infinito.