Lição 12

Tanto por um argumento tomado dos lugares como por um argumento tomado do peso e da leveza, mostra-se que não é infinito o corpo que se move por movimento retilíneo, seja a partir do centro, seja em direção ao centro

Além disso, tampouco será infinito o corpo que se move em direção ao centro ou a partir do centro.

Com efeito, os movimentos para cima e para baixo são contrários; e os movimentos contrários dirigem-se a lugares contrários. Ora, se um dos contrários é determinado, também o outro será determinado. O centro, porém, é determinado: pois, de onde quer que se mova para baixo aquilo que está abaixo, não pode ultrapassar o lugar central. Portanto, sendo determinado o lugar central, é necessário que também seja determinado o lugar superior. Se, porém, os lugares são determinados e finitos, também os corpos serão finitos.

Além disso, se o alto e o baixo são determinados, é necessário que também seja determinado o lugar intermediário. Pois, se não for determinado, o movimento será infinito; e já se mostrou que isso é impossível. Portanto, o lugar intermediário é determinado. Por conseguinte, também o é o corpo que existe nele ou que nele pode vir a existir.

Além disso, o corpo que se move para cima ou para baixo pode chegar a existir nesse lugar: pois um é naturalmente apto a mover-se a partir do centro, e o outro, em direção ao centro. Por essas considerações, portanto, é manifesto que não pode haver um corpo infinito.

Além disso, se o peso não é infinito, tampouco será infinito algum desses corpos: pois é necessário que o peso de um corpo infinito também seja infinito. O mesmo argumento valerá para o leve: pois, se o peso é infinito, também o será a leveza, caso seja infinito aquilo que se move para cima.

Isso fica claro pelo seguinte. Seja, com efeito, finito o peso, e tome-se o corpo infinito AB, cujo peso seja G. Retire-se, então, do infinito uma grandeza finita BD, cujo peso seja E. Assim, E será menor que G: pois o peso do menor é menor. Que o menor meça o maior um número qualquer de vezes, e faça-se BD estar para BZ assim como o peso menor está para o maior: pois do infinito se pode retirar uma quantidade qualquer. Se, portanto, as grandezas são proporcionais aos pesos, e o peso menor pertence à grandeza menor, também o maior pertencerá à maior. Portanto, serão iguais os pesos do finito e do infinito.

Além disso, se o peso do corpo maior é maior, o peso de IB será maior que o de ZB. Por conseguinte, o peso do finito será maior que o do infinito.

E grandezas desiguais terão o mesmo peso: pois o infinito é desigual ao finito.

Não faz diferença, porém, que os pesos sejam comensurados ou incomensurados. Pois, mesmo sendo incomensurados, o argumento será o mesmo; por exemplo, se E, tomado três vezes como medida, exceder o peso G. Com efeito, tomando-se três grandezas inteiras iguais a BD, o peso será maior que G. Por conseguinte, resultará o mesmo impossível.

Além disso, também é possível tomá-los comensurados. Pois não faz diferença começar pelo peso ou pela grandeza; por exemplo, se se tomar um peso E comensurado com G e se retirar do infinito aquilo que tem o peso E, seja BD; depois, faça-se BD estar para outra grandeza, seja BZ, assim como um peso está para o outro; pois, sendo infinita a grandeza, pode-se retirar dela uma quantidade qualquer. Tomadas essas coisas, as grandezas e os pesos serão comensurados entre si.

Tampouco faz diferença para a demonstração que a grandeza seja homeômera ou anomeômera. Pois sempre será possível tomar do infinito corpos de peso igual ao de BD, retirando ou acrescentando uma quantidade qualquer. Por isso, é manifesto, pelo que foi dito, que o peso de um corpo infinito não será finito. Será, portanto, infinito. Se, pois, isso é impossível, também é impossível que exista algum corpo infinito.

Além disso, que seja impossível haver um peso infinito, fique manifesto pelo seguinte.

Pois, se um peso de certa quantidade move através de certa distância neste tempo, um peso dessa quantidade e ainda maior o fará em menos tempo.

E os tempos terão, inversamente, a proporção que têm os pesos: por exemplo, se metade do peso move neste tempo, o dobro moverá na metade dele.

Além disso, um peso finito move através de toda grandeza finita em algum tempo finito.

Disso se segue necessariamente que, se houver algum peso infinito, haverá movimento tanto quanto sob um peso finito, e ainda mais; e não haverá movimento, porque é necessário que o movimento se dê em proporção inversa aos excessos dos pesos, de modo que o maior mova em menos tempo. Ora, não há proporção alguma do infinito para o finito, mas há do tempo menor para o maior, sendo este finito; haverá, porém, movimento sempre em menos tempo, e não há um tempo mínimo.

E, mesmo que houvesse, de que serviria? Pois se tomaria outro peso finito na mesma proporção inversa em que o tempo do peso infinito está para o outro tempo, maior. Assim, o peso infinito moveria através de uma distância igual, em tempo igual ao do finito. Mas isso é impossível.

Além disso, se o peso infinito move em qualquer tempo finito, é necessário que também algum outro peso finito mova, nesse mesmo tempo, através de alguma grandeza finita. Portanto, é impossível haver peso infinito; e, de modo semelhante, também leveza infinita. Logo, é impossível que os corpos tenham peso e leveza infinitos.

110. Depois de mostrar que o corpo que se move circularmente não é infinito, o Filósofo mostra aqui o mesmo a respeito do corpo que se move por movimento retilíneo, seja a partir do centro, seja em direção ao centro.

E, primeiro, propõe o que pretende demonstrar, dizendo que, assim como o corpo que se move circularmente não pode ser infinito, também o corpo que se move por movimento retilíneo, seja a partir do centro, seja em direção ao centro, não pode ser infinito.

Em segundo lugar, onde diz: Com efeito, os movimentos contrários etc., demonstra o que propôs:

primeiro, a partir dos lugares próprios desses corpos;

em segundo lugar, a partir do peso e da leveza, pelos quais esses corpos se movem para seus lugares próprios, onde diz: Além disso, se o peso etc.

Quanto ao primeiro ponto, faz duas coisas:

primeiro, demonstra o que propôs quanto aos corpos extremos, dos quais um é pesado em sentido absoluto, a saber, a terra, e o outro é leve em sentido absoluto, a saber, o fogo;

em segundo lugar, quanto aos corpos intermediários, que são o ar e a água, onde diz: Além disso, se o alto etc.

111. Propõe, portanto, primeiro, que esses movimentos para cima e para baixo, ou a partir do centro e em direção ao centro, são movimentos contrários. Ora, movimentos locais contrários são os que se dirigem a lugares contrários, como se disse acima e se demonstrou no livro V da Física. Resta, portanto, que os lugares próprios para os quais esses corpos se movem são contrários. Disso já poderia concluir que esses lugares são determinados: pois contrárias são as coisas que mais distam entre si; e a maior distância entre lugares só pode existir se os lugares forem determinados, porque a maior distância é aquela além da qual não há outra maior, ao passo que, no infinito, sempre se pode tomar uma distância cada vez maior. Por isso, se os lugares fossem infinitos, cessaria a contrariedade dos lugares. Aristóteles, porém, deixando de lado essa prova por ser manifesta, procede de outro modo. Com efeito, é verdade que, se um dos contrários é determinado, também o outro será determinado, porque os contrários pertencem ao mesmo gênero. Ora, o centro do mundo, que é o termo central do movimento para baixo, é determinado: pois, de qualquer parte do céu que algo se mova para baixo — isto é, aquilo que está abaixo da parte superior, voltada para o céu —, não poderá avançar, afastando-se do céu, além de chegar ao centro; pois, se ultrapassasse o centro, já se aproximaria do céu e, assim, mover-se-ia para cima. Desse modo, portanto, é claro que o lugar central é determinado. Também fica claro, pelo que foi dito, que, sendo determinado o centro, que é o lugar inferior, necessariamente será determinado o lugar superior, pois são contrários. Ora, se ambos os lugares são determinados e finitos, é necessário que os corpos naturalmente aptos a estar nesses lugares sejam finitos. Por isso, é claro que esses corpos extremos, que se movem por movimento retilíneo, são finitos.

112. Depois, onde diz: Além disso, se o alto etc., mostra o mesmo quanto aos corpos intermediários.

E, primeiro, propõe uma condicional, a saber: se o alto e o baixo são determinados, é necessário que o lugar intermediário seja determinado. E prova isso por dois argumentos.

O primeiro deles é este: se, sendo determinados os primeiros, o lugar intermediário não for determinado, seguir-se-á que o movimento de um extremo ao outro será infinito, uma vez que o lugar intermediário é infinito. Ora, que isso é impossível já se mostrou antes, no que se disse sobre o movimento circular, quando se demonstrou que o movimento através do infinito não pode ser completado. Assim, portanto, é claro que o lugar intermediário é determinado. E, desse modo, como aquilo que ocupa um lugar tem a mesma medida desse lugar, segue-se que é finito o corpo que existe em ato nesse lugar ou que nele pode existir.

113. Apresenta o segundo argumento onde diz: Além disso etc., e ele é o seguinte. O corpo que se move para cima ou para baixo pode chegar a existir nesse lugar. Isso fica claro porque tal corpo é naturalmente apto a mover-se a partir do centro ou em direção ao centro, isto é, possui uma inclinação natural para este ou aquele lugar; ora, a inclinação natural não pode ser vã, porque Deus e a natureza nada fazem em vão, como se estabeleceu acima. Assim, portanto, tudo o que se move naturalmente para cima ou para baixo pode ter seu movimento terminado ao chegar ao alto ou ao baixo. Isso, porém, não seria possível se o lugar intermediário fosse infinito. Portanto, o lugar intermediário é finito, e o corpo que nele existe é finito.

Recapitulando, portanto, conclui das premissas que é manifesto não poder haver nenhum corpo infinito.

114. Depois, onde diz: Além disso, se o peso etc., mostra que não há corpo pesado ou leve infinito, por um argumento tomado do peso ou da leveza, que é o seguinte. Se há um corpo pesado ou leve infinito, é necessário que haja peso ou leveza infinitos; mas isso é impossível; logo, também o é o primeiro. Quanto a isso, portanto, faz duas coisas:

primeiro, prova a condicional;

em segundo lugar, prova a negação do consequente, onde diz: Além disso, que seja impossível haver um peso infinito etc.

Quanto ao primeiro ponto, faz duas coisas.

Primeiro, propõe o que pretende demonstrar, dizendo: Se o peso não é infinito, nenhum desses corpos, a saber, dos pesados, será infinito; e isso porque é necessário que o peso de um corpo infinito seja infinito. O mesmo argumento vale para o corpo leve: pois, se o peso do corpo pesado é infinito, é necessário que também a leveza seja infinita, caso se suponha que o corpo leve, que se move para cima, seja infinito.

115. Em segundo lugar, onde diz: Isso fica claro etc., prova o que havia suposto:

primeiro, apresenta a prova;

em segundo lugar, afasta algumas objeções, onde diz: Não faz diferença, porém, que os pesos etc.

Apresenta, portanto, primeiro, um argumento que conduz ao impossível, da seguinte maneira. Se não é verdadeiro o que se disse acima, suponha-se que o peso de um corpo infinito seja finito; seja AB o corpo infinito, e G seu peso finito. Retire-se, então, do referido corpo infinito alguma parte finita, que é a grandeza BD, necessariamente muito menor que todo o corpo infinito. Ora, o peso de um corpo menor é menor. Assim, portanto, o peso do corpo BD é menor que o peso G, que é o peso de todo o corpo infinito; e seja E esse peso menor. Que esse peso menor, a saber, E, meça o peso finito maior, que é G, um número qualquer de vezes, isto é, segundo qualquer número, por exemplo, três, de modo que se diga que E é a terça parte de todo G. Tome-se, porém, do corpo infinito alguma parte que se acrescente ao corpo finito BD, segundo a proporção pela qual G excede E, e seja BZ esse corpo maior; de tal modo que, assim como o peso menor E está para o maior G, assim o corpo BD esteja para BZ. E prova que isso pode ser feito porque de um corpo infinito se pode retirar quanto for necessário; pois, como se diz no livro III da Física, infinito é aquilo de cuja quantidade, por mais que se tome, sempre resta algo a tomar.

Pressupostas essas coisas, argumenta conduzindo a três absurdos:

primeiro, da seguinte maneira. A proporção entre as grandezas pesadas é a mesma que existe entre seus pesos: pois vemos que o peso menor pertence à grandeza menor, e o maior, à maior. Ora, a proporção de E para G, isto é, do peso menor para o maior, é a mesma que existe de BD para BZ, isto é, do corpo menor para o maior, como se supôs. Portanto, sendo E o peso do corpo BD, seguir-se-á que G é o peso do corpo BZ. Supunha-se, porém, que G fosse o peso de todo o corpo infinito. Logo, o peso do corpo finito e o do infinito serão iguais, numericamente o mesmo peso. Isso é absurdo, porque se seguirá que todo o restante do corpo infinito não terá peso algum. Logo, também é impossível a primeira suposição, a saber, que o peso de um corpo infinito seja finito.

Em segundo lugar, onde diz: Além disso, se o peso do corpo maior etc., conduz a outro absurdo. Pois, como de um corpo infinito se pode tomar quanto se quiser, conforme foi dito, tome-se ainda alguma parte do corpo infinito que se acrescente ao corpo BZ, formando um corpo finito BI maior que o corpo finito BZ. Ora, o peso de um corpo maior é maior, como se disse acima. Logo, o peso do corpo BI é maior que o peso G, que se concluíra ser o peso do corpo BZ. Mas, de início, supunha-se que G fosse o peso de todo o corpo infinito. Portanto, o peso do corpo finito será maior que o peso do corpo infinito, o que é impossível. Logo, também o é a primeira suposição, a saber, que o peso do corpo infinito seja finito.

Em terceiro lugar, onde diz: E grandezas desiguais etc., conduz ao terceiro absurdo, a saber, que grandezas desiguais tenham o mesmo peso. Isso se segue manifestamente das premissas, porque o infinito é desigual ao finito, já que é maior que ele. Por isso, sendo essas coisas impossíveis, é impossível que o peso de um corpo infinito seja finito.

116. Depois, onde diz: Não faz diferença, porém etc., afasta duas objeções contra o argumento precedente:

primeiro, a primeira;

em segundo lugar, a segunda, onde diz: Tampouco faz diferença que a grandeza etc.

A primeira objeção é que, no argumento anterior, havia suposto que o peso menor E medisse o peso maior G segundo algum número; o que alguém poderia negar, pois nem todo maior é medido pelo menor: uma linha de três palmos não mede uma linha de oito palmos.

O Filósofo afasta essa objeção de dois modos.

Primeiro, porque não faz diferença para o que se pretende demonstrar que os dois pesos referidos, o maior e o menor, sejam comensurados, de modo que o menor meça o maior, ou incomensurados, de modo que o menor não meça o maior: pois o mesmo argumento se segue em ambos os casos. Com efeito, é necessário que o menor, tomado certo número de vezes, ou meça o maior ou o exceda; assim, o número dois, tomado três vezes, mede o número seis — pois três vezes dois são seis —, mas não mede o número cinco, e sim o excede. Assim, portanto, se o peso E não medir o peso G, suponha-se que, tomado três vezes, meça certo peso maior, que exceda o peso G. E disso se segue um absurdo, como antes. Pois, se tomarmos do corpo infinito três grandezas iguais a BD, o peso da grandeza composta dessas três será o triplo do peso E, que se considera ser o peso do corpo BD. Ora, o peso triplo de E é maior, segundo o que foi dito, que o peso G, que é o peso do corpo infinito. Por conseguinte, segue-se o mesmo impossível de antes, a saber, que o peso do corpo finito seja maior que o do infinito.¹

117. Em segundo lugar, onde diz: Além disso, também é possível etc., afasta a mesma objeção de outro modo. E diz que podemos tomar, na demonstração precedente, dois pesos comensurados, de tal modo que E meça G. Com efeito, acima se tomou primeiro uma parte da grandeza, a saber, BD, cujo peso dissemos ser E; por isso, podia-se dizer que E não mede G. Ora, não faz diferença para o que se pretende demonstrar começarmos pelo peso, tomando dele a parte que quisermos, ou pela grandeza assim tomada; por exemplo, começando pelo peso, tome-se certa parte dele, a saber, E, que meça o todo, a saber, G; em seguida, tomemos do corpo infinito alguma parte, a saber, BD, cujo peso seja E; e depois procedamos como acima, de modo que a grandeza BD esteja para outra grandeza maior, que é BZ, assim como o peso E está para o peso G. E isso porque, sendo infinita a grandeza de todo o corpo, pode-se retirar dela quanto se quiser. Tomadas, portanto, desse modo as partes do peso e da grandeza, seguir-se-á que tanto as grandezas como os pesos serão comensurados entre si; de tal modo que o peso menor medirá o maior, e, de modo semelhante, a grandeza menor medirá a maior.

118. Depois, onde diz: Tampouco faz diferença que a grandeza etc., afasta a segunda objeção. Com efeito, havia suposto que as grandezas fossem proporcionais aos pesos. Isso é necessário num corpo de partes semelhantes; pois, sendo ele por toda parte de peso semelhante, é necessário que numa parte maior haja peso maior. Num corpo de partes dessemelhantes, porém, isso não é necessário, porque pode acontecer que o peso da parte menor exceda o peso da maior, assim como uma parte menor de terra é mais pesada que uma parte maior de água.

Afasta, portanto, essa objeção, dizendo que não faz diferença para a demonstração precedente que a grandeza infinita da qual falamos seja, quanto ao peso, homeômera, isto é, de partes semelhantes, ou anomeômera, isto é, de partes dessemelhantes. Pois de um corpo infinito podemos tomar quanto quisermos, acrescentando ou subtraindo, de modo que tomemos algumas partes de peso igual ao da parte tomada primeiro, a saber, BD, sejam essas partes tomadas depois maiores ou menores em grandeza. Pois, se primeiro tomarmos BD como tendo três côvados e peso E, e tomarmos muitas outras partes, por exemplo, de dez côvados, com peso igual, será o mesmo que se tomássemos outra parte de grandeza igual e peso igual. Assim, portanto, segue-se o mesmo absurdo.

Apresentada, pois, a demonstração e afastadas as objeções, conclui do que foi dito que o peso de um corpo infinito não pode ser finito. Resta, portanto, que seja infinito. Se, pois, é impossível haver peso infinito, como logo provará, segue-se que é impossível haver algum corpo infinito.

119. Depois, onde diz: Além disso, que seja impossível haver um peso infinito etc., mostra o que havia suposto, a saber, que não pode haver peso infinito; e, com isso, nega o consequente da condicional precedente. Quanto a isso, faz duas coisas.

Primeiro, propõe o que pretende demonstrar e diz que ainda é preciso manifestar, pelo que se segue, que é impossível haver peso infinito.

120. Em segundo lugar, onde diz: Pois, se um peso de certa quantidade etc., demonstra o que propôs.

E, primeiro, apresenta algumas suposições;

em segundo lugar, argumenta a partir delas para demonstrar o que propôs, onde diz: Disso se segue necessariamente etc.;

em terceiro lugar, afasta uma objeção, onde diz: E, mesmo que houvesse etc.

Apresenta, primeiro, três suposições.

A primeira delas é que, se um peso de certa quantidade, isto é, de alguma medida determinada, move através de certa distância, isto é, por uma grandeza determinada de espaço, neste tempo, a saber, determinado, é necessário que um peso dessa quantidade e ainda maior, isto é, um peso maior, que tem tanto quanto o menor e ainda mais, mova através dessa mesma grandeza de espaço em menos tempo. Pois, quanto mais forte é a potência motora, tanto mais veloz é seu movimento, e assim percorre um espaço igual em menos tempo, como se provou no livro VI da Física.

Apresenta a segunda suposição onde diz: E a proporção etc.; e ela se segue da primeira. Pois, se um peso maior move em menos tempo, segue-se que a analogia, isto é, a proporção, dos pesos e dos tempos é a mesma, mas inversamente; de modo que, se metade do peso move em certo tempo, o dobro do peso move na metade dele, a saber, do tempo.

Apresenta a terceira suposição onde diz: Além disso, um peso finito etc. E diz que um peso finito move através de uma grandeza finita de espaço em algum tempo finito.

121. Depois, onde diz: Disso se segue necessariamente etc., argumenta a partir das premissas. Pois, se houver um peso infinito, seguir-se-ão duas coisas contraditórias, a saber, que algo se mova por ele e que não se mova. Que se mova, segue-se da primeira suposição; pois, se um peso de certa quantidade move em certo tempo, um peso maior moverá mais velozmente, isto é, em menos tempo. Portanto, como um peso infinito é maior que um finito, se o finito move, em tempo determinado, através de um espaço determinado, como dizia a terceira suposição, segue-se que o infinito move tanto e ainda mais, isto é, ou através de um espaço maior em tempo igual, ou através de um espaço igual em menos tempo, o que é mover-se mais velozmente. Mas que algo não se mova por um peso infinito segue-se da segunda suposição. Pois é necessário que algo se mova proporcionalmente aos excessos do peso, em razão inversa, isto é, que um peso maior mova em menos tempo. Ora, não pode haver proporção alguma entre um peso infinito e um finito; mas há alguma proporção entre um tempo menor e um maior, contanto que este seja finito. Assim, portanto, não se poderá indicar algum tempo em que um peso infinito mova; mas sempre se poderá admitir que algo se mova em menos tempo do que aquele em que move o peso infinito. Não se pode, porém, indicar um tempo mínimo em que o peso infinito mova, de modo que se possa dizer que algo não pode mover-se em menos tempo. E não se pode tomar um tempo mínimo porque, sendo todo tempo divisível, como qualquer contínuo, para qualquer tempo se pode tomar outro menor, a saber, uma parte do tempo dividido. Assim, portanto, não pode haver peso infinito.

122. Depois, onde diz: E, mesmo que houvesse etc., afasta uma objeção. Pois alguém poderia dizer que existe algum tempo mínimo, isto é, indivisível, em que o peso infinito move, assim como alguns também sustentaram que existem grandezas mínimas e indivisíveis. Mas afasta essa objeção:

primeiro, mostrando que absurdo se segue caso se admita um tempo mínimo e que o peso infinito mova nele;

em segundo lugar, mostrando que o mesmo absurdo se segue caso o peso infinito mova em qualquer tempo, ainda que não seja mínimo, onde diz: Além disso, é necessário etc.

Diz, portanto, primeiro, que, mesmo se houvesse um tempo mínimo, isso de nada serviria, para evitar o absurdo, a quem admite um peso infinito. Pois, embora admitamos um tempo mínimo, não excluímos que haja alguma proporção entre esse tempo mínimo e um tempo maior, porque esse tempo mínimo será parte do tempo maior; assim como a unidade é parte do número, razão pela qual há alguma proporção dela para todo número. Ora, o indivisível que não tem proporção com o divisível é aquele que não é parte dele; assim, o ponto não é parte da linha e, por isso, não há proporção alguma entre o ponto e a linha. Tome-se, portanto, outro peso finito, em proporção inversa, tanto maior que o peso finito que movia em mais tempo que o peso infinito quanto o tempo mínimo do peso infinito é menor que o tempo maior do outro peso finito. Por exemplo, seja E o peso infinito, e B o tempo mínimo em que move; seja G o peso finito, que move num tempo maior que B, a saber, no tempo D. Tome-se, portanto, outro peso tanto maior que G quanto D excede B, e seja F esse peso. Assim, portanto, como a diminuição do tempo se dá segundo o acréscimo do peso, seguir-se-á que o peso F, que é finito, move no mesmo tempo que o peso infinito, o que é impossível. Deve-se observar, porém, que, assim como não há proporção entre o ponto e a linha, tampouco há proporção entre o instante e o tempo, porque o instante não é parte do tempo. Assim, portanto, esse argumento só seria afastado se alguém sustentasse que o peso infinito move num instante; mas isso é impossível, como se provou no livro VI da Física, a saber, que algum movimento ocorra num instante.

123. Depois, onde diz: Além disso, é necessário etc., mostra que o mesmo absurdo se segue em qualquer tempo em que admitamos que o peso infinito mova, ainda que não seja um tempo mínimo. E é isso o que diz: se o peso infinito move em qualquer tempo finito, ainda que não seja mínimo, é necessário que também algum peso finito mova, nesse mesmo tempo, através de um espaço finito; pois se poderá tomar um acréscimo do peso segundo a diminuição do tempo, como se disse antes. Assim, portanto, é claro que é impossível haver peso infinito; e o mesmo argumento vale para a leveza.

Footnotes

1. Nota do tradutor: Nesta passagem, “comensurados” significa que o peso menor cabe um número inteiro de vezes no maior. É esse sentido específico, mais restrito que o de possuir uma medida comum, que rege os exemplos numéricos. ↩