Lição 15

A demonstração não pode passar de um gênero a outro estranho a ele

Não é, portanto, possível demonstrar passando de um gênero a outro, como demonstrar algo geométrico na aritmética.

Pois há três coisas nas demonstrações: uma é o que se demonstra, a conclusão; isso é o que pertence por si a algum gênero. Outra são os axiomas; os axiomas são aquilo de que procede a demonstração. A terceira é o gênero sujeito, cujas propriedades e acidentes por si a demonstração mostra.

Aquilo de que procede a demonstração pode, portanto, ser o mesmo; mas, nos casos em que o gênero é diferente, como na aritmética e na geometria, não é possível aplicar a demonstração aritmética aos acidentes das grandezas, a menos que as grandezas sejam números (como isso ocorre em certos casos será dito adiante). Mas a demonstração aritmética sempre tem o gênero acerca do qual se faz a demonstração, e as outras igualmente.

Por isso, se a demonstração deve passar de um gênero a outro, é necessário que o gênero seja o mesmo, ou sem mais ou de certo modo. É manifesto que, de outra maneira, é impossível.

Pois é necessário que os termos médios e os extremos sejam do mesmo gênero. Com efeito, se não forem por si, serão por acidente.

Por isso, não cabe à geometria demonstrar que a ciência dos contrários é a mesma, nem que dois cubos são um só cubo. Tampouco cabe a uma ciência demonstrar o que pertence a outra, a não ser que estejam entre si de tal modo que uma esteja subordinada à outra, como a óptica à geometria e a harmonia à aritmética.

Tampouco lhe cabe demonstrar algo que pertence às linhas não enquanto são linhas nem enquanto procede de seus princípios próprios, como se a reta é a mais bela das linhas ou se é contrária à circular; pois isso não lhes pertence segundo seu gênero próprio, mas segundo algo comum.

127. Não é, portanto, possível, passando de um gênero a outro etc. Depois de mostrar que a demonstração procede das coisas que são “por si”, o Filósofo conclui aqui que a demonstração procede de princípios próprios, não de princípios estranhos nem comuns.

Esta parte se divide em duas:

na primeira, mostra que a demonstração procede de princípios próprios;

na segunda, determina quais são os princípios próprios e quais são os comuns, onde diz: É difícil saber etc.

A primeira se divide em duas:

na primeira, mostra que a demonstração não procede de princípios estranhos;

na segunda, que não procede de princípios comuns, onde diz: Como é manifesto que cada coisa etc.

A primeira se divide em duas:

primeiro, mostra, pelo que precede, que a demonstração não procede de princípios estranhos;

na segunda, também pelo que precede, mostra que as demonstrações não tratam de coisas corruptíveis, mas de coisas eternas, onde diz: É manifesto também que, se as proposições etc.

Quanto ao primeiro ponto, faz três coisas:

primeiro, enuncia o que pretende mostrar;

segundo, prova a tese, onde diz: Há três coisas etc.;

terceiro, conclui o que pretendia, onde diz: Por isso, à geometria etc.

128. Diz, portanto, primeiro, que, como a demonstração procede das coisas que são “por si”, é, pois, manifesto que não é possível demonstrar passando ou procedendo de um gênero a outro, assim como não é possível que o geômetra, a partir de seus princípios próprios, demonstre algo passando ao campo da aritmética.

129. Em seguida, quando diz: Há três coisas etc., prova a tese.

Quanto a isso, faz três coisas.

Primeiro, expõe previamente o que é necessário à demonstração, dizendo que há três coisas nas demonstrações. Uma é o que se demonstra, a saber, a conclusão, que contém em si aquilo que pertence por si a algum gênero; pois, pela demonstração, conclui-se uma propriedade de seu sujeito próprio. Outra são os axiomas, dos quais procede a demonstração. A terceira é o gênero sujeito, cujas propriedades próprias e acidentes por si a demonstração mostra.

130. Segundo, onde diz: Aquilo de que procede etc., mostra qual das três coisas mencionadas pode ser comum a diversas ciências e qual não pode, dizendo: uma dessas três coisas, a saber, os axiomas, dos quais procede a demonstração, pode ser a mesma em diversas demonstrações e também em diversas ciências. Mas, nas ciências cujo gênero sujeito é diferente, como a aritmética, que trata dos números, e a geometria, que trata das grandezas, não é possível que uma demonstração que procede dos princípios de uma ciência, por exemplo, da aritmética, se aplique, quanto aos acidentes, aos sujeitos de outra ciência, como às grandezas, que são os sujeitos da geometria, a menos que o sujeito de uma ciência esteja contido sob o sujeito de outra, como se as grandezas estivessem contidas sob os números (de que modo isso ocorre, a saber, que o sujeito de uma ciência esteja contido sob o sujeito de outra, será dito adiante; pois as grandezas não estão contidas sob os números, a não ser enquanto são grandezas numeradas). Também os sujeitos das diversas ciências são diferentes: pois a demonstração aritmética sempre tem um gênero próprio acerca do qual a demonstração, e as outras ciências, igualmente.

131. Terceiro, onde diz: Por isso, ou sem mais etc., prova a tese.

Quanto a isso, faz duas coisas.

Primeiro, apresenta a tese principal à maneira de conclusão, pois ela pode ser obtida do que precede, dizendo: por isso, é manifesto que é necessário que o gênero seja o mesmo sem mais, acerca do qual se tomam os princípios e as conclusões, e assim não há passagem de um gênero a outro; ou, se a demonstração deve passar de um gênero a outro, deve haver um só gênero desse modo, isto é, de certo modo. De outra maneira, é impossível demonstrar alguma conclusão a partir de certos princípios, a menos que o gênero seja o mesmo, ou sem mais ou sob certo aspecto.

Deve-se saber que se toma o mesmo gênero sem mais quando, da parte do sujeito, não se acrescenta nenhuma diferença determinante estranha à natureza daquele gênero; como quando alguém, a partir de princípios verificados acerca do triângulo, procede à demonstração de algo acerca do isósceles ou de alguma outra espécie de triângulo. Há, porém, um só gênero sob certo aspecto quando se acrescenta ao sujeito alguma diferença estranha à natureza daquele gênero, assim como o visual é estranho ao gênero da linha, e o som é estranho ao gênero do número. Portanto, o número sem mais, que é o gênero sujeito da aritmética, e o número sonoro, que é o gênero sujeito da música, não constituem um só gênero sem mais; do mesmo modo, tampouco a linha sem mais, que o geômetra considera, e a linha visual, que o estudioso da óptica considera. Assim, fica claro que, quando as coisas que pertencem à linha sem mais são aplicadas à linha visual, há, de certo modo, uma passagem a outro gênero; isso, porém, não ocorre quando as coisas que pertencem ao triângulo são aplicadas ao isósceles.

132. Segundo, onde diz: Pois devem ser do mesmo gênero etc., mostra a tese deste modo: na demonstração, os termos médios e os extremos devem pertencer ao mesmo gênero. Ora, os extremos estão contidos na conclusão, pois o extremo maior é o predicado na conclusão, e o extremo menor é o sujeito; o termo médio, porém, está contido nas premissas. Portanto, os princípios e as conclusões devem ser tomados acerca do mesmo gênero. Quando acrescentarmos a isso que as diversas ciências tratam de diversos gêneros sujeitos, seguir-se-á necessariamente que, a partir dos princípios de uma ciência, não se conclui algo em outra ciência que não esteja subordinada a ela. Prova assim que, nas demonstrações, os termos médios e os extremos devem ser de um só gênero. Suponha-se que o termo médio seja de um gênero diferente do dos extremos, como se os extremos fossem “triângulo” e “ter três ângulos iguais a dois retos”, <e o termo médio fosse “de bronze”>: é manifesto que a propriedade concluída acerca do triângulo lhe pertence por si, mas não pertence por si ao que é de bronze. E, se, ao contrário, uma propriedade pertencesse por si ao que é de bronze, como ser sonoro ou algo semelhante, é claro que pertenceria por acidente ao triângulo. Daí fica claro que, se o sujeito da conclusão e o termo médio forem de gêneros inteiramente diferentes, será absolutamente necessário que a propriedade ou não pertença por si ao termo médio ou não pertença por si ao sujeito; e, assim, deverá pertencer por acidente a um deles. Se pertencer por acidente ao termo médio, haverá uma predicação por acidente nas premissas; se, porém, ao sujeito, ela estará na conclusão, e isso da parte da propriedade. Mas, em ambos os casos, deverá haver uma predicação por acidente nas premissas, na medida em que o sujeito é tomado sob o termo médio, como se o triângulo fosse tomado sob o que é de bronze, ou inversamente. Ora, mostrou-se que, nas demonstrações, tanto a conclusão como as premissas são por si, e não por acidente. Portanto, nas demonstrações, o termo médio e os extremos devem pertencer ao mesmo gênero.

133. Em seguida, quando diz: Por isso, à geometria etc., infere duas conclusões do que precede.

A primeira é que nenhuma ciência demonstra algo acerca do sujeito de outra ciência, quer de uma ciência mais comum, quer de outra ciência distinta; assim, a geometria não demonstra que a ciência dos contrários é a mesma, pois os contrários pertencem a uma ciência comum, a saber, à filosofia primeira ou à dialética. Do mesmo modo, a geometria não demonstra que dois cubos são um só cubo, isto é, que da multiplicação de um número cúbico por outro número cúbico resulta um número cúbico (chama-se número cúbico aquele que resulta da multiplicação de um número por si mesmo duas vezes; assim, oito é um número cúbico, pois resulta da multiplicação de dois por si mesmo duas vezes, porque duas vezes dois, duas vezes, são oito; e, pela mesma razão, vinte e sete é um número cúbico, e sua raiz é três, porque três vezes três, três vezes, fazem vinte e sete; portanto, se oito for multiplicado por vinte e sete, resulta um número cúbico, a saber, duzentos e dezesseis, cuja raiz é seis, porque seis vezes seis, seis vezes, são duzentos e dezesseis). Portanto, isso cabe ao aritmético provar, não ao geômetra. Do mesmo modo, não cabe a uma ciência provar o que pertence a outra, a menos que uma ciência esteja subordinada à outra, como a óptica à geometria e a harmonia (ou harmônica, isto é, a música) à aritmética.¹

134. A segunda conclusão é apresentada onde diz: Tampouco, se algo etc. Ela é que uma ciência, mesmo acerca de seu próprio sujeito, não prova qualquer acidente, mas o acidente que pertence a seu gênero. Assim, se algo pertence às linhas não enquanto são linhas nem segundo os princípios próprios das linhas, o geômetra não o demonstra acerca das linhas, como se a linha reta é a mais bela das linhas, ou se a linha reta é ou não contrária à circular. Pois essas coisas não lhes pertencem segundo o gênero próprio da linha, mas segundo algo mais comum: o belo e o contrário ultrapassam o gênero da linha.

Footnotes

1. Nota do tradutor: A perspectiva medieval, aqui traduzida por “óptica”, estuda a visão e os fenômenos luminosos; não designa apenas a técnica de representação do espaço no desenho. ↩