Lição 32

A dúvida sobre o processo ao infinito nos termos médios se reduz à dúvida levantada sobre os extremos; do mesmo modo, a dúvida sobre o processo ao infinito nas demonstrações negativas se reduz à dúvida sobre as afirmativas

É manifesto, portanto, que não é possível serem infinitos os termos médios, se as predicações se detêm tanto para cima como para baixo. Digo “para cima” em direção ao mais universal, e “para baixo” em direção ao particular.

Com efeito, se, predicando-se A de Z, há infinitos termos médios, entre os quais está B, é manifesto que, a partir de A, será possível predicar um do outro ao infinito para baixo, pois, antes de chegar a Z, há infinitos termos médios; e, a partir de Z, haverá infinitos para cima, antes de chegar a A. Por isso, se essas coisas são impossíveis, também é impossível haver infinitos termos médios entre A e Z.

Tampouco faz diferença se alguém disser que se supôs que A, B e C fossem contíguos entre si, de modo que não houvesse termos médios, mas que isso não se pode admitir. Pois, qualquer que seja o termo B que eu tome, haverá ou não infinitos termos médios entre ele e A ou Z. Portanto, a partir de onde começam os infinitos, imediatamente ou não, em nada altera a questão, pois os que vêm depois deles são infinitos.

É manifesto também que, na demonstração privativa, se chegará a um termo, se na afirmativa se chega a um termo em ambas as direções. Suponha-se, com efeito, que não seja possível proceder ao infinito do último para cima. Chamo “último” àquilo que não está em nenhum outro, mas no qual outro está, como Z. Tampouco seja possível proceder ao infinito do primeiro ao último. Chamo “primeiro” àquilo que se predica de outro, mas do qual nenhum outro se predica. Se, portanto, essas coisas são finitas, também na negação se chegará a um termo.

Com efeito, demonstra-se de três modos que algo não está em outro. Ou B está em tudo aquilo em que C está, mas A não está em nada daquilo em que B está. Quanto a BC e a qualquer outro intervalo, é necessário chegar a proposições imediatas, pois essa distância é afirmativa. Quanto ao outro intervalo, é manifesto que, se A não está em outro termo anterior, por exemplo D, esse D deverá estar em todo B. E, se, por sua vez, A não está em outro termo anterior a D, esse termo deverá estar em todo D. Por isso, como a via ascendente se detém, também a que leva a D se deterá, e haverá algo primeiro no qual A não estará.

Por sua vez, se B está em todo A, mas em nenhum C, A não estará em nenhum C. E, se for necessário demonstrar isso, é manifesto que se demonstrará ou pelo modo anterior, ou por este, ou pelo terceiro. O primeiro, portanto, já foi exposto. Quanto ao segundo, será mostrado agora. Demonstrar-se-á assim: D está em todo B, mas em nenhum C, se for necessário que algo esteja em B. E, por sua vez, se D não está em C, há outro termo que está em D e não está em C. Portanto, como o estar em algo sempre se detém acima, também o não estar se deterá.

O terceiro modo é este: se A está em todo B, mas C não está, C não está em tudo aquilo em que A está. Por sua vez, isso será demonstrado ou pelos modos anteriormente expostos ou de modo semelhante. Naquele modo, porém, chega-se a um termo. Se for deste modo, tomar-se-á, por sua vez, que B está em E, no qual C não está universalmente. E isso, por sua vez, ocorrerá de modo semelhante. Como, porém, se supõe que se chega a um termo para baixo, é manifesto que também se chegará a um termo quanto ao não estar de C.

É manifesto também que, se não se demonstra por uma única via, mas por todas, às vezes pela primeira figura, às vezes pela segunda ou pela terceira, também assim se chegará a um termo, pois as vias são finitas. Ora, coisas finitas tomadas um número finito de vezes são necessariamente finitas em seu conjunto. Fica, portanto, manifesto que se chega a um termo na privação, se também se chega a um termo na afirmação.

268. É manifesto, portanto, que não é possível etc. Depois de levantar as questões, o Filósofo começa aqui a resolvê-las.

E o texto se divide em duas partes: na primeira, mostra que a solução de certas dúvidas se reduz à solução de outras; na segunda, resolve a dúvida quanto àquilo em que a dificuldade consiste por si e principalmente, quando diz: Quanto àquelas coisas, de modo lógico etc.

Quanto ao primeiro ponto, faz duas coisas: primeiro, mostra que a dúvida que pode haver acerca dos termos médios se reduz à dúvida levantada sobre os extremos, e, resolvida esta, aquela se resolve; segundo, mostra que a dúvida acerca das demonstrações negativas se reduz à dúvida sobre as afirmativas, quando diz: É manifesto também que, na demonstração privativa etc.

Quanto ao primeiro ponto, faz três coisas: primeiro, propõe o que pretende; segundo, prova o que se propõe, quando diz: Com efeito, se, predicando-se A de Z etc.; terceiro, afasta uma objeção, quando diz: Tampouco se alguém disser etc.

269. Diz, portanto, primeiro, que é manifesto, para quem considerar o raciocínio seguinte, que não é possível haver termos médios infinitos, se as predicações, tanto para cima como para baixo, se detêm em certos termos, a saber, no predicado supremo e no sujeito ínfimo. E explica o que significa as predicações procederem para cima e para baixo, dizendo que se ascende quando se procede ao mais universal, cuja razão é predicar-se; para baixo, porém, se procede quando se vai ao mais particular, cuja razão é ser sujeito.

270. Em seguida, quando diz: Com efeito, se, predicando-se A etc., mostra o que se propõe do seguinte modo. Suponha-se que A seja o predicado supremo, Z seja o sujeito ínfimo e haja infinitos termos médios, cada um dos quais se chame B. Como A era o primeiro predicado, predicar-se-á de algum termo médio que lhe seja o mais próximo, e, por sua vez, esse termo médio se predicará de outro termo médio inferior; e, como os termos médios são infinitos, seguir-se-á que a predicação procederá ao infinito descendo, o que é contrário ao que se estabeleceu, pois se estabelecia que a predicação não desce ao infinito. Do mesmo modo, se começarmos por Z, que é o sujeito ínfimo, procederemos ao infinito ascendendo, antes de chegar a A, o que também é contrário ao que se estabeleceu. Se, portanto, essas coisas são impossíveis, a saber, proceder na predicação ao infinito para cima ou para baixo, seguir-se-á que é impossível serem infinitos os termos médios. Assim, fica claro que a questão da infinidade dos termos médios se reduz à questão da infinidade dos extremos.

271. Em seguida, quando diz: Tampouco se alguém disser etc., afasta uma objeção. Com efeito, alguém poderia objetar que a prova anterior procedia como se A, B e C, isto é, o termo médio e os extremos, estivessem relacionados de tal modo que fossem contíguos entre si, ou seja, que não houvesse entre eles algum termo médio. Com efeito, no livro V da Física, define-se “contíguo” como aquilo que é consecutivo e se toca. E isso parecia ser suposto na prova anterior, a saber, que A se predicasse de algum termo médio como de algo contíguo, isto é, que viesse imediatamente a seguir; mas quem sustenta que os termos médios são infinitos dirá que não se pode admitir isso, pois afirma que entre quaisquer termos tomados há algum termo médio.

272. Mas o Filósofo diz que em nada altera a questão tomar os infinitos termos médios como contíguos entre si, como ocorre nas coisas discretas — por exemplo, numa cidade, uma casa é contígua , e nos números, uma unidade a outra unidade —, ou não se poder encontrar entre os termos médios algo contíguo, mas sempre ser possível tomar entre dois termos médios algum termo médio, como ocorre nas coisas contínuas, nas quais entre quaisquer duas marcas ou dois pontos sempre se pode tomar algo intermediário. E manifesta que, para o que se propõe, em nada altera a questão que seja de um modo ou do outro, acrescentando que, suposto haver infinitos termos médios entre A e Z, cada um dos quais se chama B, qualquer deles que eu tome, é necessário que entre ele e A ou Z haja infinitos termos médios, ou que não sejam infinitos em relação a um dos extremos. Por exemplo, suponhamos que os termos médios sejam contíguos entre si, como ocorre nas coisas discretas, e tomemos algum termo médio contíguo ao próprio A: será necessário que entre esse termo médio e Z ainda haja infinitos termos médios; e o mesmo ocorre se se supuserem alguns termos médios finitos entre A e o termo médio tomado. E a mesma razão vale se se supuser que o termo médio tomado se liga imediatamente ao próprio Z ou dele dista por um número finito de termos médios. Como, portanto, a partir do termo médio tomado sempre é necessário tomar infinitos termos médios até um dos extremos, não faz diferença se ele se liga imediatamente ao outro extremo, isto é, sem termo médio, ou não imediatamente, isto é, por alguns termos médios; pois, ainda que se ligue a um extremo sem termo médio, é necessário que depois deles se encontrem infinitos termos médios em relação ao outro. Assim, se há infinidade nos termos médios, será sempre necessário encontrar uma infinidade nas predicações, seja ascendendo, seja descendo, como procedia a prova anterior.

273. Em seguida, quando diz: É manifesto também etc., mostra que, se nas demonstrações afirmativas não se procede ao infinito, tampouco nas privativas se procede ao infinito; a questão das demonstrações negativas se reduz à questão das afirmativas.

E, a esse respeito, faz três coisas: primeiro, propõe o que pretende; segundo, prova o que se propõe, quando diz: Com efeito, demonstra-se de três modos etc.; terceiro, afasta uma objeção, quando diz: É manifesto também etc.

Diz, portanto, primeiro, que será manifesto pelo que segue que, se na demonstração afirmativa se chega a um termo em ambas as direções, isto é, para cima e para baixo, será necessário chegar a um termo na demonstração negativa. E, para explicar o que foi proposto, diz: suponha-se que não seja possível proceder do último, isto é, do sujeito ínfimo, ao infinito para cima, em direção aos predicados universais. E explica o que é “último”: aquilo que não está em outro como em algo menos particular, mas no qual outro está; e seja isso Z. Suponha-se também que, começando pelo primeiro, em direção ao último, Z, não se proceda ao infinito. E explica o que é “primeiro”: aquilo que se predica de outros e do qual nada mais se predica como algo mais universal do que ele; de modo que por “primeiro” se entenda o universalíssimo, e por “último”, o particularíssimo. Se, portanto, em ambas as direções se chega a um termo nas demonstrações afirmativas, diz que se segue que também se chega a um termo nas demonstrações negativas.

274. Em seguida, quando diz: Com efeito, demonstra-se de três modos que algo não está em outro etc., prova o que se propõe.

Primeiro, na primeira figura; segundo, na segunda, quando diz: Por sua vez, se B etc.; terceiro, na terceira, quando diz: O terceiro modo etc. Com efeito, nas três figuras é possível concluir uma negativa.

Diz, portanto, primeiro, que se pode demonstrar de três modos uma proposição negativa, pela qual se significa que algo não está em outro.

Um deles é na primeira figura, deste modo: B está universalmente em C, sendo a menor universal afirmativa, mas A não está em nenhum B, sendo a maior universal negativa. Como, portanto, se supõe que nas afirmativas se chega a um termo tanto para cima como para baixo, é necessário que essa proposição afirmativa BC, se não for imediata, e qualquer outro intervalo que se tome, havendo algum termo médio entre B e C, sejam reduzidos necessariamente a proposições imediatas, porque essa distância, considerada segundo a relação do termo médio com o extremo menor, é afirmativa, e nela se supõe que se chega a um termo. Se, porém, tomarmos o outro intervalo, que está entre B e A, é manifesto que, se esta proposição: “nenhum B é A”, não é imediata, é necessário que A se remova de algum outro antes de se remover de B, e seja esse outro D. Se D for tomado como termo médio entre A e B, é necessário que se predique universalmente de B, porque a menor deve ser afirmativa. E, por sua vez, se esta não for imediata: “nenhum D é A”, é necessário que A seja negado de algum outro antes de ser negado de D; seja esse outro E, que, pela mesma razão, deverá predicar-se universalmente de D. Como, portanto, ao ascender nas afirmativas se chega a um termo, conforme se supõe, segue-se que se deve chegar a algo do qual A seja negado primeiramente e de modo imediato; caso contrário, ainda se procederia mais adiante nas afirmativas, como fica claro pelo que foi dito.

275. Em seguida, quando diz: Por sua vez, se B etc., prova o mesmo a respeito da negativa que se conclui na segunda figura. Suponha-se, com efeito, que B, que é o termo médio, se predique universalmente de A e se negue universalmente de C; daí se conclui que nenhum C é A. Se, porém, for necessário demonstrar por sua vez a negativa, por ser mediata, é necessário que ela seja demonstrada na primeira figura, modo de demonstração a respeito do qual já se mostrou que se chega a um termo, se nas afirmativas se chega a um termo; ou é necessário que seja demonstrada por este modo, isto é, pela segunda figura, ou pelo terceiro, isto é, pela terceira figura. Ora, a respeito da primeira figura, foi dito que se chega a um termo nas negativas, se nas afirmativas se chega a um termo. Isso, porém, será mostrado agora quanto à segunda figura. Demonstre-se, portanto, esta proposição: “nenhum C é B”, de modo que D se predique universalmente de B, sendo a maior universal afirmativa, e se negue universalmente de C, sendo a menor universal negativa. Se, por sua vez, esta proposição: “nenhum C é D”, for mediata, será necessário tomar algum outro termo médio, que também se predique universalmente de D e se remova universalmente de C. Assim, à medida que se procede nas demonstrações negativas, será necessário proceder nas afirmativas, a saber, B se predicará de A, D de B e algum outro de D, e assim se procederá ao infinito nas afirmativas. Como, portanto, se supõe que nas afirmativas se chega a um termo para cima, também é necessário chegar a um termo nas negativas, segundo esse modo pelo qual a negativa é demonstrada na segunda figura.

276. Em seguida, quando diz: O terceiro modo etc., mostra o mesmo na terceira figura. Seja, portanto, o termo médio do qual A se predica universalmente, mas do qual C se remove; segue-se uma particular negativa, a saber, que C se nega de algum A. Que se chega a um termo na premissa afirmativa, que é: “todo B é A”, tem-se pela suposição. Que, porém, é necessário chegar a um termo também nesta negativa: “nenhum B é C”, que é a maior, fica claro porque, se isso deve ser demonstrado, é necessário que se demonstre ou pelos modos anteriormente expostos, isto é, pela primeira e pela segunda figura, ou de modo semelhante àquele pelo qual se concluía a conclusão, isto é, pela terceira figura, de modo, porém, que essa maior não seja tomada como universal, mas como particular. Naquele modo, chega-se a um termo, a saber, se se procede na primeira e na segunda figura. Se, porém, procedermos na terceira figura para concluir que “algum B não é C”, tome-se o termo médio E, do qual B seja universalmente afirmado, mas do qual C seja particularmente negado. E isso, por sua vez, ocorrerá de modo semelhante: segundo esse processo, proceder-se-á na demonstração negativa sempre pelo acréscimo da predicação afirmativa para baixo, porque B, que era o primeiro termo médio, se predicará de E, e E de algum outro, e assim ao infinito. Como, portanto, se supõe que nas afirmativas se chega a um termo para baixo, é manifesto que se chegará a um termo nas negativas por parte do próprio .1

277. Em seguida, quando diz: É manifesto também etc., afasta uma objeção. Com efeito, alguém poderia dizer que é necessário chegar a um termo nas demonstrações negativas, chegando-se a um termo nas afirmativas, se sempre se raciocina por silogismo segundo a mesma figura; mas que se pode proceder ao infinito se ora se demonstra por uma figura, ora por outra. E diz ser manifesto que, se não se procede nas demonstrações por uma única via, mas por todas, às vezes pela primeira figura, às vezes pela segunda ou pela terceira, também assim será necessário chegar a um termo nas negativas, chegando-se a um termo nas afirmativas. Com efeito, essas diversas vias de demonstrar são finitas, e cada uma delas se multiplica não ao infinito, mas de modo finito, ascendendo ou descendo, como foi mostrado. Ora, se coisas finitas forem tomadas um número finito de vezes, é necessário que o todo seja finito. Resta, portanto, que, de todos os modos, é necessário chegar a um termo nas demonstrações negativas, se nas afirmativas se chega a um termo.

Footnotes

1. Nota do tradutor: O texto chama “maior” à premissa negativa “nenhum B é C”. No silogismo apresentado, cuja conclusão é “algum A não é C”, ela ocupa a posição de premissa maior; a ordem em que as premissas são expostas não determina essa denominação. ↩