Lição 36

Alguns corolários do que foi dito

Demonstradas essas coisas, é manifesto que, se uma mesma coisa está em duas, como A em C e em D, sem que uma se predique da outra, ou de modo algum, ou não de toda, ela nem sempre estará nelas segundo algo comum.

Por exemplo, ter os ângulos iguais a dois retos está no escaleno e no isósceles segundo algo comum: com efeito, enquanto cada um é certa figura, e não enquanto é uma ou outra dessas espécies. Mas isso nem sempre ocorre assim.

Seja B aquilo segundo o qual A está em C e D. É manifesto, portanto, que B está em C e D segundo algo comum, e este segundo outra coisa. Por isso, entre dois termos se interporiam infinitos termos médios. Mas isso é impossível. Portanto, não é necessário que uma mesma coisa esteja sempre em muitas segundo algo comum, porque haverá intervalos imediatos.

É necessário, porém, que os termos pertençam ao mesmo gênero e provenham dos mesmos indivisíveis, se o comum for uma das coisas que estão por si. Pois não era possível que as coisas demonstradas passassem de um gênero a outro.

É manifesto também que, quando A está em B, se houver algum termo médio, é possível demonstrar que A está em B. E esses são os elementos dessa demonstração, e assim são todos os termos médios. Pois as proposições imediatas são os elementos, ou todas, ou as universais. — Mas, se não houver termo médio, já não haverá demonstração. Esse, porém, é o caminho para os princípios.

Do mesmo modo será se A não estiver em B: se houver um termo médio ou algo anterior em que A não esteja, haverá demonstração. Se não, não haverá, mas será um princípio. E haverá tantos elementos quantos forem os termos. Pois as proposições formadas por eles são princípios da demonstração. E, assim como há certos princípios indemonstráveis de que isto é aquilo e de que isto está naquilo, assim também de que isto não é aquilo nem está naquilo. Por isso, haverá princípios de que algo é alguma coisa, e outros de que algo não é alguma coisa.

Quando, porém, for preciso demonstrar, deve-se tomar aquilo que se predica de B primeiro: seja C; e, do mesmo modo, A de C. E assim, prosseguindo sempre, nunca se toma na demonstração uma proposição nem um ente exterior ao próprio A, mas o termo médio se adensa sempre, até que os intervalos se tornem indivisíveis e um só. Ora, há unidade quando se torna imediato, e é uma só proposição sem mais aquela que é imediata.

E, assim como nas outras coisas o princípio é simples, mas não é o mesmo em toda parte — no peso, a onça; na melodia, o tom; em outro gênero, outro —, assim, no silogismo, o uno é a proposição imediata; na demonstração e na ciência, o intelecto.

Portanto, nos silogismos ostensivos que concluem uma atribuição, nada fica fora.

Nos negativos, porém, do lado daquilo que deve ser atribuído, nada fica fora disso. Por exemplo, se A não está em B por meio de C: pois C está em todo B, mas A não está em nenhum C. Por sua vez, se for preciso mostrar que A não está em nenhum C, deve-se tomar um termo médio entre A e C, e assim se procederá sempre.

Se, porém, for preciso mostrar que D não está em E, porque C está em todo D, mas em nenhum E, ou não em todo E, o termo médio nunca ficará fora de E; e este é aquilo em que se deve mostrar que D não está.

No terceiro modo, porém, o termo médio nunca ficará fora nem daquilo de que se deve negar, nem daquilo que se deve negar.

308. Demonstradas essas coisas etc. Depois de o Filósofo mostrar que não é possível proceder ao infinito nas demonstrações, apresenta aqui alguns corolários do que foi dito.

E, a esse respeito, faz duas coisas:

primeiro, mostra que é necessário tomar algumas proposições primeiras;

segundo, como se devem usar essas proposições primeiras nas demonstrações, onde diz: Quando, porém, for preciso demonstrar etc.

Quanto ao primeiro ponto, faz duas coisas:

primeiro, mostra que é necessário chegar a algo primeiro quando uma coisa se predica de muitas;

segundo, quando uma coisa se predica de uma só coisa, onde diz: É manifesto também que, quando A está em B etc.

Quanto ao primeiro ponto, faz quatro coisas:

primeiro, propõe o que pretende;

segundo, esclarece o propósito, onde diz: Por exemplo, no escaleno etc.;

terceiro, prova-o, onde diz: Seja B etc.;

quarto, afasta certa objeção, onde diz: No mesmo gênero etc.

309. Diz, portanto, primeiro que, demonstradas as coisas anteriores, a saber, que não se pode proceder ao infinito nas predicações e nas demonstrações, é manifesto que, se algo se predica de duas coisas, por exemplo, A de C e D, de tal modo que uma delas não se predique da outra, ou de modo algum, como animal se predica do homem , dos quais um de modo algum se predica do outro, ou não de toda, por exemplo, animal se predica do homem e do macho, dos quais nenhum se predica universalmente do outro; estando os termos assim, digo, é manifesto que não é necessário que aquele predicado que se predica de ambos esteja em ambos segundo algo comum, e isso sempre, isto é, procedendo ao infinito.

310. Em seguida, quando diz: Por exemplo, no escaleno etc., esclarece o propósito por um exemplo. Com efeito, há duas espécies de triângulo, uma das quais se chama escaleno, ou scalenon, isto é, triângulo em degraus, cujos três lados são desiguais; a outra é o isósceles, que tem dois lados iguais. Ora, um deles não se predica do outro, mas em ambos está esta propriedade: “ter três ângulos iguais a dois retos”. Isso está neles segundo algo comum, a saber, enquanto cada um deles é certa figura, isto é, triangular. Mas isso nem sempre ocorre assim, a saber, que convenha ao infinito segundo alguma outra coisa, por exemplo, que ter três ângulos iguais a dois retos convenha ao triângulo, por sua vez, segundo alguma outra coisa, e assim ao infinito.

311. Em seguida, quando diz: Seja B etc., prova o propósito.

E diz: seja assim, que B se predique de C e de D segundo este comum que é A. É manifesto, portanto, que B estará em C e em D segundo aquele comum que é A; e, se por sua vez estiver em A segundo outro comum, e novamente naquele comum segundo alguma outra coisa, proceder-se-á ao infinito nos termos médios. Seguir-se-á, portanto, que entre os dois extremos, que são C e B, se interponham infinitos termos médios. Mas isso é impossível. Portanto, não é necessário, se uma mesma coisa está em muitas, que sempre esteja nelas, ao infinito, segundo algo comum, porque é necessário chegar a alguns intervalos imediatos, isto é, a algumas predicações imediatas, que chama de intervalos, como foi dito acima.¹

312. Portanto, pelo que se vê dessa prova de Aristóteles, sua intenção não é dizer que nem sempre seja verdadeiro que, quando algo se predica de muitas coisas que não se predicam umas das outras, aquilo esteja nessas muitas coisas segundo algo comum. Com efeito, isso é verdadeiro em tudo o que se predica como propriedade: pois é necessário que, se está em muitas coisas, esteja nelas segundo algo comum, ainda que talvez esse comum não tenha nome, como foi dito acima ao tratar do universal. Mas não se procede ao infinito nesse comum, como prova evidentemente a razão apresentada pelo Filósofo. Se, porém, se tomar algo que esteja em muitas coisas como o gênero nas espécies, nem sempre será necessário tomar algo anterior segundo o qual esteja nelas; por exemplo, vivente está no homem e no asno segundo algo anterior, a saber, segundo animal; mas não está no animal e na planta segundo algo anterior, porque essas são as primeiras espécies do corpo vivente ou animado.

313. Em seguida, quando diz: No mesmo gênero etc., afasta certa objeção.

Com efeito, alguém poderia dizer que sempre se toma algo segundo algum comum, porque se pode tomar um comum de outro gênero, por exemplo, se dissermos que mover a si mesmo está no homem e no asno segundo este comum que é animal, e segundo outro comum que é ter quantidade, ou ter cor, ou alguma outra coisa desse tipo, que se podem tomar ao infinito.

E, para excluir isso, diz que é necessário tomar os termos médios que se assumem do mesmo gênero e dos mesmos indivisíveis; e chama “indivisíveis” aos próprios termos extremos, entre os quais se deve tomar o termo médio, se aquele comum que se toma como termo médio estiver entre as coisas que se predicam por si. Mostra por que é necessário tomar os termos médios do mesmo gênero pelo fato de que, como se tratou acima, a demonstração não pode passar de um gênero a outro.

314. Em seguida, quando diz: É manifesto também etc., mostra que é necessário chegar a algo uno nas predicações em que uma coisa se predica de uma só coisa.

E primeiro nas afirmativas; segundo, nas negativas, onde diz: Do mesmo modo será se A etc.

Diz, portanto, primeiro ser manifesto que, quando A se predica de B, se houver algum termo médio entre eles, podemos usar esse termo médio para demonstrar que A está B. E estes são os princípios dessa conclusão, e todos os que se tomam como termos médios são princípios das conclusões mediatas que por eles se concluem. Com efeito, os elementos ou princípios das demonstrações nada mais são que proposições imediatas, e digo isso ou de todas, ou das universais.

Isso pode ser entendido de dois modos.

De um modo, tomando-se a proposição universal enquanto se distingue da singular: pois a espécie ínfima não se predica do singular por algum termo médio. Por isso, esta proposição é imediata: “Sócrates é homem”; contudo, não é princípio de demonstração, porque as demonstrações não tratam dos singulares, já que deles não há ciência. Assim, nem toda proposição imediata é princípio de demonstração, mas somente a universal.

De outro modo, pode-se entender enquanto se chamam proposições universais às proposições comuns a todas as proposições de alguma ciência, como: “todo todo é maior que sua parte”; por isso, as proposições desse tipo são, sem mais, princípios das demonstrações e evidentes por si para todos. Mas esta proposição: “o homem é animal”, ou: “o isósceles é triângulo”, não é princípio de demonstração em toda a ciência, mas somente de algumas demonstrações particulares. Tampouco tais proposições são evidentes por si para todos.

Assim, portanto, se houver algum termo médio da proposição dada, será possível demonstrar por algum termo médio, até que se chegue a algo imediato.

Mas, se não houver algum termo médio da proposição dada, ela não poderá ser demonstrada; esse, porém, é o caminho para encontrar os primeiros princípios das demonstrações, a saber, proceder por resolução das coisas mediatas às imediatas.

315. Em seguida, quando diz: Do mesmo modo será se A etc., mostra que é possível tomar algo primeiro nas negativas.

E diz que, se A se nega de B, e se é possível tomar algum termo médio do qual A seja removido com prioridade em relação B, então esta proposição: “B não é A” será demonstrável. Se, porém, não for possível tomar algum termo médio desse tipo, essa proposição não será demonstrável, mas princípio de demonstração. E haverá tantos elementos, isto é, princípios de demonstração, quantos forem os termos nos quais se chega a um termo, de modo que já não seja possível encontrar um termo médio. Pois as proposições formadas por termos desse tipo são princípios da demonstração. Por exemplo, se C se predica imediatamente de B, e A se remove imediatamente de B ou dele se predica imediatamente, B será o termo ao qual se chega por último ao tomar os termos médios; por isso, ambas as proposições serão imediatas e princípios de demonstração. E fica claro pelo que foi apresentado que, assim como há certos princípios indemonstráveis afirmativos, nos quais uma coisa se predica de outra significando que isto é essencialmente aquilo, como quando o gênero se predica da espécie próxima, ou que isto está naquilo, como quando uma propriedade se predica de seu sujeito primeiro e imediato, assim também há princípios indemonstráveis nas negativas, negando-se ou um predicado essencial, ou ainda uma propriedade própria. Disso fica claro que alguns princípios de demonstração servem para demonstrar uma conclusão afirmativa, que deve ser concluída de premissas todas afirmativas, e outros princípios de demonstração servem para provar uma conclusão negativa, para cuja inferência é necessário tomar alguma premissa negativa.

316. Em seguida, quando diz: Quando, porém, for preciso etc., mostra como se devem usar as proposições primeiras ao demonstrar.

E primeiro nas demonstrações afirmativas;

segundo, nas negativas, onde diz: Nos negativos, porém etc.

Quanto ao primeiro ponto, faz três coisas:

primeiro, mostra como é preciso tomar as proposições primeiras e imediatas nas demonstrações;

segundo, mostra como tais proposições se relacionam com as demonstrações, onde diz: E, assim como nas outras coisas etc.;

terceiro, recapitula, onde diz: Portanto, nos ostensivos etc.

317. Diz, portanto, primeiro que, quando é preciso demonstrar alguma conclusão afirmativa, por exemplo: “todo B é A”, é necessário tomar algo que se predique de B com prioridade em relação a A, e do qual A também se predique; e seja isso C. E, se por sua vez houver algo de que A se predique com prioridade em relação a C, prosseguindo sempre assim, não se tomará na demonstração nem uma proposição nem um termo que signifique algum ente exterior ao próprio A, porque será necessário que A se predique dele por si, de modo que esteja contido sob A e não lhe seja exterior; mas será necessário sempre adensar os termos médios (e fala por comparação com homens que parecem estar apertados, sentados em algum assento, quando entre os que estão sentados ninguém pode interpor-se; assim também se diz que os termos médios na demonstração estão adensados quando entre os termos tomados nada se interpõe como termo médio). E é isso que diz: que o termo médio se adensa até que se chegue a que os intervalos se tornem indivisíveis, isto é, que as distâncias entre dois termos sejam tais que não possam dividir-se em mais distâncias desse tipo, mas haja somente um intervalo. E isso ocorre quando a proposição é imediata; pois é então verdadeiramente uma só proposição, não somente em ato, mas também em potência, quando é imediata. Se, com efeito, for mediata, embora seja uma só em ato, porque uma coisa se predica de uma só coisa, é, contudo, muitas em potência, porque, tomado um termo médio, formam-se duas proposições; assim também a linha, que é una em ato enquanto é contínua, é, contudo, muitas em potência enquanto é divisível por um ponto intermediário. E, por isso, diz que a proposição imediata é una como algo simples e indivisível.

318. Em seguida, quando diz: , assim como nas outras coisas etc., mostra como a proposição imediata se relaciona com a demonstração. Aqui se deve considerar que, como se encontra no livro X da Metafísica, em cada gênero deve haver algo primeiro e uno, que é o mais simples naquele gênero e a medida de tudo o que pertence a esse gênero. E, porque a medida é homogênea ao que se mede, conforme a diversidade dos gêneros é necessário que sejam diversos esses primeiros indivisíveis; por isso, isso não é o mesmo em todas as coisas, mas, na gravidade dos pesos, toma-se como uno indivisível a onça, ou mina, isto é, certo peso mínimo, que, contudo, não é absolutamente simples, porque qualquer peso é divisível em pesos menores, mas é tomado como simples por suposição. Do mesmo modo, nas melodias, toma-se como princípio uno o tom, que consiste na proporção de nove para oito, ou a diése, que <é> a diferença entre o tom e o semitom; e nos diversos gêneros há diversos princípios indivisíveis. Ora, os princípios do silogismo são as proposições; por isso, é necessário que a proposição mais simples, que é a imediata, seja o uno que é a medida dos silogismos. A demonstração, porém, acrescenta ao silogismo o produzir ciência; ora, o intelecto está para a ciência como o uno e indivisível está para o múltiplo: pois a ciência se dá pelo percurso dos princípios às conclusões, enquanto o intelecto é a apreensão absoluta e simples de um princípio evidente por si. Por isso, o intelecto corresponde à proposição imediata, e a ciência à conclusão, que é uma proposição mediata. Assim, portanto, da demonstração, enquanto é silogismo, o uno indivisível é a proposição imediata; por parte da ciência que ela causa, porém, seu uno é o intelecto.

319. Em seguida, quando diz: Portanto, nos ostensivos etc., recapitulando, conclui o que foi mostrado acima, a saber, que nos silogismos afirmativos o termo médio não fica fora dos extremos.

320. Em seguida, quando diz: Nos negativos, porém etc., mostra como se devem usar as proposições imediatas nos silogismos negativos.

E primeiro na primeira figura;

segundo, na segunda, onde diz: Se, porém, for preciso mostrar etc.;

terceiro, na terceira, onde diz: No terceiro modo, porém etc.

Diz, portanto, primeiro que, nos silogismos negativos, nenhum dos termos médios tomados ao proceder até as proposições imediatas fica fora do gênero dos termos da proposição afirmativa na primeira figura. Por exemplo, se for preciso demonstrar que nenhum B é A e se tomar o termo médio C, formando-se este silogismo: “nenhum C é A; todo B é C; logo, nenhum B é A”. Se, por sua vez, for preciso provar que A não está em nenhum C, é necessário tomar um termo médio entre C e A, que se predique de C e, por consequência, de B, e assim pertença ao gênero dos termos da proposição afirmativa; e assim sempre se procederá de modo que os termos médios tomados não fiquem fora da proposição afirmativa, mas ficarão fora do gênero do predicado negativo, por exemplo, fora do gênero de A.

321. Em seguida, quando diz: Se, porém, for preciso etc., mostra como isso se dá na segunda figura.

E diz que, se for preciso demonstrar que nenhum E é D na segunda figura, tomando-se o termo médio C, de modo que se forme este silogismo: “todo D é C; nenhum E é C (ou: algum E não é C); logo, nenhum E é D (ou: nem todo E é D)”, o termo médio tomado nunca ficará fora de E. Porque, se for preciso demonstrar por sua vez que nenhum E é C, será necessário tomar novamente algum termo médio entre E e C, pois na segunda figura será necessário provar sempre a negativa (com efeito, a afirmativa não pode ser provada nessa figura); por isso, assim como na primeira figura os termos médios tomados são sempre tomados do lado da proposição afirmativa, assim é necessário, na segunda figura, tomar sempre os termos médios do lado da proposição negativa.

322. Em seguida, quando diz: No terceiro modo, porém etc., mostra como isso se dá na terceira figura.

E diz que, na terceira figura, os termos médios tomados não estarão fora nem do predicado que se nega, nem do sujeito do qual se nega. E isso porque o termo médio é sujeito de ambas as proposições, tanto da afirmativa como da negativa; por isso, se for preciso tomar ainda outro termo médio, será necessário que esse termo médio seja novamente sujeito de ambas, afirmando ou negando; e assim os termos médios tomados nunca serão tomados fora nem do predicado negado, nem do sujeito do qual se nega.

Footnotes

1. Nota do tradutor: Neste comentário, A designa o termo comum e B o predicado. No trecho de Aristóteles reproduzido no início da lição, essas letras aparecem com as funções inversas. Conserva-se a atribuição de cada passagem. ↩